Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
У чисельному аналізі квадрату́рна фо́рмула Га́усса — Лаґе́рра або метод Гаусса — Лаґерра — це поліпшення формули чисельного інтегрування Гаусса .
Квадратурна формула Гаусса — Лаґерра апроксимує значення інтегралів вигляду:
∫
0
+
∞
e
−
x
f
(
x
)
d
x
{\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }e^{-x}f(x)\,dx}
поруч за
n
{\displaystyle n}
точками:
∫
0
+
∞
e
−
x
f
(
x
)
d
x
≈
∑
i
=
1
n
w
i
f
(
x
i
)
,
{\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }e^{-x}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}),}
де
x
i
{\displaystyle x_{i}}
— це
i
{\displaystyle i}
-й корінь полінома Лаґерра
L
n
(
x
)
{\displaystyle L_{n}(x)}
, а коефіцієнти
w
i
{\displaystyle w_{i}}
[1] :
w
i
=
x
i
(
n
+
1
)
2
L
n
+
1
2
(
x
i
)
.
{\displaystyle w_{i}={\frac {x_{i}}{(n+1)^{2}L_{n+1}^{2}(x_{i})}}.}
Для інтеграла довільної функції можна записати:
∫
0
+
∞
f
(
x
)
d
x
=
∫
0
+
∞
f
(
x
)
e
x
e
−
x
d
x
=
∫
0
+
∞
g
(
x
)
e
−
x
d
x
,
{\displaystyle \int \limits _{0}^{+\infty }f(x)\,dx=\int \limits _{0}^{+\infty }f(x)e^{x}e^{-x}\,dx=\int \limits _{0}^{+\infty }g(x)e^{-x}\,dx,}
де
g
(
x
)
=
f
(
x
)
e
x
{\displaystyle g(x)=f(x)e^{x}}
.
Далі можна застосувати квадратурну формулу Гаусса — Лаґерра до нової функції
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
.
↑ Abramowitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions. — 10th printing with corrections. — Dover, 1972. — ISBN 978-0-486-61272-0 . Equation 25.4.45.