En raison de limitations techniques, la typographie souhaitable du titre, « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) : Changement de référentiels Outils mathématiques pour la physique (PCSI)/Changement de référentiels », n'a pu être restituée correctement ci-dessus.
Les changements de référentiels sont utilisés en physique lors de l'étude du mouvement de points mais aussi Les changements de référentiels sont utilisés en physique lors de l'utilisation de champ vectoriel dépendant implicitement du temps ainsi que Les changements de référentiels sont utilisés dans d'autres domaines comme celui de la S.I. [1], d'où Les changements de référentiels sont utilisés en physique le classement de ce chapitre dans la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) », Les changements de référentiels sont utilisés en physique d'autant plus que les démonstrations des propriétés ont un aspect fortement mathématique.
Soit un 1er référentiel d'espace [2] appelé « référentiel absolu » et Soit un 2ème référentiel d'espace [2] en mouvement relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement », Soit nous nous proposons d'étudier l'influence d'un changement de référentiel sur la variation de grandeurs vectorielles dépendant du temps selon .
Préliminaire : le temps étant absolu [3], une grandeur scalaire, non spécifique d'un référentiel [4],[5] et Préliminaire : le temps étant absolu, une grandeur scalaire, dépendant du temps selon , Préliminaire : le temps étant absolu, une grandeur scalaire, a une dérivée temporelle restant invariante par changement de référentiel car la définition n'en dépend pas, en effet Préliminaire : le temps étant absolu, une grandeur scalaire, a une dérivée temporelle restant invariante par changement de référentiel que ce soit dans ou , la dérivée temporelle se définit Préliminaire : le temps étant absolu, une grandeur scalaire, a une dérivée temporelle restant invariante par changement de référentiel selon avec les valeurs Préliminaire : le temps étant absolu, une grandeur scalaire, a une dérivée temporelle restant invariante par changement de référentiel et indépendantes des référentiels [4],[5] Préliminaire : le temps étant absolu, une grandeur scalaire, a une dérivée temporelle restant invariante par changement de référentiel et de même que Par contre Préliminaire : le temps étant absolu, une grandeur vectorielle dépendant du temps selon , Préliminaire : le temps étant absolu, une grandeur vectoriellea une dérivée temporelle dépendant a priori du référentiel dans laquelle elle est effectuée comme sur l'exemple décrit ci-après : Préliminaire : le temps étant absolu, une grandeur vectoriellesoit la grandeur « champ de pesanteur terrestre » [6] noté plus simplement ; Préliminaire : le temps étant absolu, une grandeur vectorielleconsidérons d'abord comme 1er référentiel la Terre et le repère cartésien lui étant lié avec le 3ème vecteur de base vertical , Préliminaire : le temps étant absolu, une grandeur vectorielle considérons d'abord comme 1er référentiel la dérivée temporelle de y est nulle c.-à-d. ; Préliminaire : le temps étant absolu, une grandeur vectorielleconsidérons maintenant comme 2ème référentiel un référentiel tournant relativement à Préliminaire : le temps étant absolu, une grandeur vectorielle considérons maintenant comme 2ème référentiel un référentiel tournant à vitesse angulaire constante autour d'un axe horizontal Préliminaire : le temps étant absolu, une grandeur vectorielle considérons maintenant comme et le repère cartésien lié à avec le 3ème vecteur de base initialement vertical , Préliminaire : le temps étant absolu, une grandeur vectorielle considérons maintenant comme 2ème référentiel la dérivée temporelle de n'y est plus nulle c.-à-d. , Préliminaire : le temps étant absolu, une grandeur vectorielle considérons maintenant comme 2ème référentiel la composante sur le 3ème vecteur de base cartésienne variant sinusoïdalement Préliminaire : le temps étant absolu, une grandeur vectorielle considérons maintenant comme 2ème référentiel avec une fréquence égale à la fréquence de rotation de dans et Préliminaire : le temps étant absolu, une grandeur vectorielle considérons maintenant comme 2ème référentiel avec une amplitude égale à [7].
Nous nous intéressons donc à l'influence d'un changement de référentiels d'espace sur la dérivée temporelle de grandeur vectorielle Nous nous intéressons donc à l'influence d'un changement de référentiels d'espace connaissant le mouvement d'entraînement du référentiel d'entraînement relativement au référentiel absolu Nous nous intéressons donc à l'influence d'un changement de référentiels d'espace en restreignant cette étude aux entraînements de translation et de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels, Nous nous intéressons donc à l'influence d'un changement de référentiels d'espace et en commençant par l'influence sur les vecteurs vitesses d'un point ainsi que les vecteurs accélérations du même point.
Soit un référentiel d'espace [2] appelé « référentiel absolu » et Soit un autre référentiel d'espace [2] en mouvement de translation relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement » ; Soit un autre référentiel d'espace un entraînement de translation les propriétés suivantes : Soit un autre référentiel d'espace un entraînement de translation « les vecteurs de base cartésienne du repère lié à identifiables aux vecteurs de base cartésienne du repère lié à » car Soit un autre référentiel d'espace un entraînement de translation « le 1er étant en translation par rapport au 2nd, toute direction de garde la même direction dans et Soit un autre référentiel d'espace un entraînement de translation « dériver par rapport au temps une grandeur vectorielle dans est équivalent à Soit un autre référentiel d'espace un entraînement de translation « dériver par rapport au temps cette même grandeur vectorielle dans », Soit un autre référentiel d'espace un entraînement de translation « la raison étant explicitée ci-dessous en repérage cartésien avec utilisation de la 1ère propriété mais Soit un autre référentiel d'espace un entraînement de translation « la raison restant valable dans tout repérage dont le repérage intrinsèque : Soit un autre référentiel d'espace un entraînement de translation « notant la base cartésienne commune des repères liés à et , Soit un autre référentiel d'espace un entraînement de translation « le champ vectoriel a les mêmes composantes cartésiennes dans les deux repères associés aux deux référentiels soit Soit un autre référentiel d'espace un entraînement de translation « le champ vectoriel et Soit un autre référentiel d'espace un entraînement de translation « sa dérivation par rapport à revient à dériver uniquement ses composantes cartésiennes, Soit un autre référentiel d'espace un entraînement de translation « sa dérivation par rapport à les vecteurs de base cartésienne étant constants dans les deux repères
D'après ce qui précède il est donc inutile de préciser dans quel référentiel la dérivée temporelle est effectuée puisque celle-ci est invariante par changement de référentiel soit
la valeur commune étant simplement notée .
Loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre
Notant l'origine du repère associé à et celle du repère associé à , on obtient, par loi de Chasles[8], le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile ,
«» et,
la dérivation temporelle, indépendante du repère dans lequel elle est effectuée, conduisant à
«»,
on en déduit, avec les définitions des vecteurs vitesses dans de et de « vecteur vitesse absolue de encore noté », on en déduit, avec les définitions des vecteurs vitesses dans de et de « vecteur vitesse absolue de encore noté », ainsi que on en déduit, avec les définitionscelle du vecteur vitesse dans de , « vecteur vitesse relative de encore noté », on en déduit, la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entrainement de translation
Dérivant par rapport à la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de translation «» [12] on obtient, Dérivant par rapport à la dérivation temporelle étant indépendante du référentiel dans lequel on effectue la dérivation lorsque les deux référentiels sont en translation l'un par rapport à l'autre,
«»,
on en déduit, avec les définitions des vecteurs accélérations dans de et de « vecteur accélération absolue de encore noté », on en déduit, avec les définitions des vecteurs accélérations dans de et de « vecteur accélération absolue de encore noté », ainsi que on en déduit, avec les définitionscelle du vecteur accélération dans de , « vecteur accélération relative de encore noté », on en déduit, la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entrainement de translation
Soit le référentiel [2] en rotation autour d'un axe fixe dans le référentiel [2], Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à et à ne peuvent pas être identifiés en effet, dans , les 1ers tournent relativement aux 2nds lesquels y sont fixes Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à et à ne peuvent pas être identifiés en effet, « les dérivées temporelles d'une grandeur vectorielle dans et dans » [15], Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à et à ne peuvent pas être identifiés en effet, « la raison étant explicitée ci-dessous en repérage cartésien mais Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à et à ne peuvent pas être identifiés en effet, « la raison restant valable dans tout repérage dont le repérage intrinsèque : Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à et à ne peuvent pas être identifiés en effet, « notant la base cartésienne du repère lié à et Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à et à ne peuvent pas être identifiés en effet, « décomposant le champ vectoriel dans cette base liée à soit Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à et à ne peuvent pas être identifiés en effet, décomposant le champ vectoriel «», Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à et à ne peuvent pas être identifiés en effet, « dans la dérivation par rapport à n'agit que sur les composantes cartésiennes, Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à et à ne peuvent pas être identifiés en effet, « dans les vecteurs de base cartésienne y étant constants soit Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à et à ne peuvent pas être identifiés en effet, dans «» alors que Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à et à ne peuvent pas être identifiés en effet, « dans la dérivation par rapport à agit sur les composantes cartésiennes mais aussi Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à et à ne peuvent pas être identifiés en effet, « dans la dérivation par rapport à agit sur les vecteurs de base du repère lié à Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à et à ne peuvent pas être identifiés en effet, « dans la dérivation par rapport à agit sur non constants dans soit Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à et à ne peuvent pas être identifiés en effet, dans « Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à et à ne peuvent pas être identifiés en effet, dans « Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à et à ne peuvent pas être identifiés en effet, dans «» d'où Soit les vecteurs de base cartésienne des repères liés à et à ne peuvent pas être identifiés en effet, « l'affirmation «».
Loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel
Établissement de la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu et en utilisant (partiellement) la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement
Schéma de situation d'un référentiel d'entraînement en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu avec le vecteur rotation instantanée , le 3ème vecteur de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement étant choisi sur identique au 3ème vecteur de la base cartésienne du repère lié au référentiel absolu
Le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu , Le référentiel d'entraînement est en rotation avec pour vecteur rotation instantanée le plus souvent constant [16] mais Le référentiel d'entraînement est en rotation avec pour vecteur rotation instantanée pouvant, a priori, dépendre de ;
pour simplifier l'exposé nous avons choisi le 3ème vecteur de la base cartésienne du repère lié au référentiel absolu pour simplifier l'exposé nous avons choisi le 3ème vecteur porté par l'axe ainsi que pour simplifier l'exposé nous avons choisi le 3ème vecteur de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement pour simplifier l'exposé nous avons choisi le 3ème vecteur égal au précédent à savoir «» [17] ;
notant l'origine du repère associé à et notant celle du repère associé à , notant on obtient, par loi de Chasles[8], le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile ,
«» et,
la dérivation temporelle dans le repère lié à définissant dans le membre de gauche le vecteur vitesse absolue du point
«»,
« le 1er vecteur du membre de droite étant le vecteur vitesse absolue de l'origine du repère lié au référentiel d'entraînement soit encore noté », il reste à analyser « le 2ème vecteur » [18] et pour cela nous décomposons le vecteur position du point défini dans le référentiel d'entraînement sur la base cartésienne de ce dernier soit « le 2ème vecteur » et pour cela nous décomposons «» puis « le 2ème vecteur » et pour cela nous effectuons la dérivation temporelle dans le référentiel absolu et « le 2ème vecteur » et pour cela nous obtenons «» ; « le 2ème vecteur » et pour cela nous y reconnaissons dans les trois 1ers termes du 2ème membre le vecteur vitesse relative du point les vecteurs de base du repère lié à « le 2ème vecteur » et pour cela nous y reconnaissons dans les trois 1ers termes du 2ème membre le vecteur vitesse relative du point y étant supposés constants, c.-à-d. « le 2ème vecteur » et pour cela nous y reconnaissons dans les trois 1ers termes du 2ème membre « encore noté « le 2ème vecteur » et pour cela nous y reconnaissons dans les trois 1ers termes du 2ème membre «» et, « le 2ème vecteur » et pour cela nous y reconnaissons dans les trois derniers termes du 2ème membre la dérivée temporelle du vecteur effectuée dans avec « le 2ème vecteur » et pour cela nous y reconnaissons dans les trois derniers termes du 2ème membre le point coïncident[10] de à la date les composantes de « le 2ème vecteur » et pour cela nous y reconnaissons dans les trois derniers termes du 2ème membre le point coïncident de à la date dans la base cartésienne du « le 2ème vecteur » et pour cela nous y reconnaissons dans les trois derniers termes du 2ème membre le point coïncident de à la date repère lié à y étant « le 2ème vecteur » et pour cela nous y reconnaissons dans les trois derniers termes du 2ème membre le point coïncident de à la date supposées constantes « le 2ème vecteur » et pour cela nous y reconnaissons dans les trois derniers termes du 2ème membre « « le 2ème vecteur » et pour cela nous y reconnaissons dans les trois derniers termes du 2ème membre « « le 2ème vecteur » et pour cela nous y reconnaissons dans les trois derniers termes du 2ème membre « encore noté » ;
finalement la relation se réécrit «» soit,
finalement « la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entrainement de rotation » ou noté plus simplement finalement « la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entrainement de rotation «» [19],[20] ;
finalement étant en rotation autour de l'axe fixe dans , le mouvement absolu de est un mouvement circulaire de vecteur rotation instantanée finalement étant en rotation autour de l'axe fixe dans , le vecteur vitesse absolue de a pour expression intrinsèque [21] «, avec finalement étant en rotation autour de l'axe fixe dans , le vecteur vitesse absolue de a pour expression intrinsèque « point fixe quelconque de l'axe » d'où
finalement étant en rotation autour de l'axe fixe dans , le vecteur vitesse d'entraînement du point [20] s'écrivant «» [22],
On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour déterminer la dérivée temporelle de chaque vecteur de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses pour déterminer la dérivée temporelle dans le référentiel absolu à savoir «, ou » et pour cela On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses on définit un « point fixe de par » que l'on dérive par rapport à dans le référentiel absolu d'où On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses «[23], soit encore On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses «[24] et finalement On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses «avec l'expression de leurs vecteurs vitesses d'entraînement [21] On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses « par factorisation vectorielle à gauche par [25] On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses «[26]» par définition du point ; On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses finalement on retient «», de même la démonstration étant la même, On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses finalement on retient «» ou On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses finalement on retient «» [27].
Remarque : il est aussi possible de déterminer «, ou » sans utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation [28] ; Remarque : cet établissement est facilité avec le choix de [29] portés par l'axe de rotation voir figure plus haut de ce chapitre, Remarque : cet établissement est facilité avec le choix plaçant les deux 1ers vecteurs de base cartésienne du repère lié à Remarque : cet établissement est facilité avec le choix plaçant dans un même plan à que les deux 1ers vecteurs de base cartésienne du repère lié à , Remarque : cet établissement est facilité avec le ce qui permet de définir l'angle instantané de rotation de relativement à «» et par suite Remarque : cet établissement est facilité avec le ce qui permet de définir le vecteur rotation instantanée de par rapport à «» ; Remarque : on peut alors en déduire «» dans lequel on peut affirmer «» [30] d'où «» soit enfin, comme «», Remarque : on peut alors en déduire la réécriture de la dérivée cherchée selon «» C.Q.F.D. [31] ; Remarque : on peut aussi écrire «» dans lequel on peut affirmer «[30] d'où » soit enfin, comme «», Remarque : on peut alors en déduire la réécriture de la dérivée cherchée selon «» C.Q.F.D. [31].
Autre façon d'établir la loi de composition des vecteurs vitesses dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu par utilisation exclusive de la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement
avec l'origine du repère associé à et celle du repère associé à , on a obtenu, par loi de Chasles [8], le lien intrinsèque entre vecteurs positions d'un point mobile , à savoir «» et, après avoir effectué la dérivation temporelle dans le repère lié au référentiel absolu pour définir dans le membre de gauche le vecteur vitesse absolue du point cela a donné
«» ;
décomposant le vecteur position du point défini dans le référentiel d'entraînement sur la base cartésienne de ce dernier soit «» puis effectuant la dérivation temporelle dans le référentiel absolu , nous obtenons
«» ;
on reconnaît dans les trois 1ers termes du 2ème membre le vecteur vitesse relative du point , c.-à-d. «» et
on reporte dans les trois derniers termes du 2ème membre les expressions des dérivées temporelles des vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement, dérivation effectuée dans le référentiel absolu, c.-à-d. «» en factorisant vectoriellement à gauche par [25] soit encore «» ;
finalement, en ajoutant les deux contributions de à , on obtient «» dans lequel finalement, le vecteur vitesse absolue du point correspondant à un mouvement circulaire d'axe , de vecteur rotation instantanée est donné par son expression intrinsèque «» [21], son report conduisant à finalement, «» en factorisant vectoriellement à gauche par [25] et, au final, finalement, par utilisation de la relation de Chasles [8]
«» dans lequel « est le vecteur vitesse d'entraînement du point », cette loi « constituant la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation ».
Loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel
Établissement intrinsèque de la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où l'un des référentiels est en rotation autour d'un axe fixe de l'autre référentiel
La méthode la plus rapide pour établir la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation consiste à dériver temporellement, dans le référentiel absolu, la loi de composition des vecteurs vitesses lors du même entraînement «» dans laquelle «, étant un point fixe quelconque de l'axe de rotation » [33] ; dérivant temporellement dans on obtient
«» dans laquelle « le 1er membre est le vecteur accélération absolue du point à savoir » ;
aucun terme du 2ème membre ne pouvant être défini sans transformation au préalable, on les étudie séparément :
tout d'abord «» peut être transformé en utilisant la loi de composition des vecteurs vitesses « après avoir posé » «» ou, après utilisation de la relation de Chasles [8] et de la linéarité de l'opérateur dérivation temporelle «» puis, par définition des vecteurs vitesses absolues des points et , «» ensuite, par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses appliquée aux points et [34], «», enfin, en utilisant les expressions des vecteurs vitesses d'entraînement «» et en factorisant vectoriellement à gauche par [25], «» soit, en revenant à la définition du point , «» ou, en reconnaissant dans le 1er terme du 2ème membre le vecteur accélération relative du point , l'expression définitive
«» ;
ensuite « que l'on explicite en dérivant temporellement dans » ce qui donne, par dérivation d'un produit vectoriel, «» [35] ; utilisant maintenant la loi de composition des vecteurs vitesses on en déduit «» ou, en utilisant la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle [36] et en réinjectant l'expression du vecteur vitesse d'entraînement du point on obtient «» [37] ; l'ensemble des deux 1ers termes du 2ème membre «» ne dépendant que de la position du point et non de son mouvement relatif dans , il est assimilable, en tout ou pour partie, au « vecteur accélération d'entraînement du point à l'instant » [38] lequel prend pour valeur le vecteur accélération absolue du point coïncident de à l'instant [10] ; or le mouvement absolu du point coïncident étant un mouvement circulaire d'axe et de vecteur rotation instantanée , son vecteur accélération absolue est donné par son expression intrinsèque «[39] avec le projeté de sur c.-à-d. le centre du cercle décrit par dans le référentiel absolu » ; on vérifie aisément que cet ensemble des deux termes « prenant pour valeur » s'identifie au « vecteur accélération d'entraînement » ; finalement «» [40] ;
ajoutant les deux transformations de «» et de «» pour obtenir «» on aboutit à «», « ce dernier vecteur accélération » étant appelé « vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis [41] du point » et étant « noté », c'est une composante spécifique d'un entraînement de rotation de autour d'un axe fixe de ;
«» avec «» [42] le vecteur accélération d'entraînement de dans lequel « est le projeté de sur , étant un point quelconque de » et «» le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis [41] du point .
Établissement non intrinsèque de la loi de composition des vecteurs accélérations dans le cas où le référentiel d'entraînement est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel absolu, en utilisant la base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement
Si cette méthode non intrinsèque n'est pas la plus rapide, elle est néanmoins intéressante par le fait qu'elle n'est sujette à aucune embûche majeure [43]
Partant de la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation «» dans lequel le vecteur vitesse d'entraînement de s'écrit «» ou, par utilisation de la relation de Chasles [8] et de la distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle [36] «» soit encore, en reconnaissant dans le dernier terme du 2nd membre l'expression intrinsèque du vecteur vitesse absolue de l'origine du repère associé au référentiel d'entraînement soit «» [44], «», cette dernière expression reportée dans la loi de composition des vecteurs vitesses permettant d'écrire la dite loi sous une forme ne faisant intervenir que le vecteur position relative du point et sa dérivée temporelle effectuée dans à l'exception du 1er terme soit
«» et
cette dernière expression reportée dans la loi de composition des vecteurs vitesses permettant de l'exprimer, avec utilisation des vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement , vecteurs que nous noterons ainsi que les composantes du vecteur position relative du point que nous noterons dans le but de simplifier l'exposé, selon
«» ;
effectuant la dérivation temporelle de la relation ci-dessus dans le référentiel absolu , nous obtenons
«» soit,
en reportant «» [45], la réécriture du vecteur accélération absolue du point selon
«» ou,
grâce à la factorisation vectorielle à gauche par [25]
«» et,
en reconnaissant les grandeurs relatives suivantes «», «» et «»,
«» soit encore,
en utilisant une forme de l'expression intrinsèque du vecteur accélération absolue du point en mouvement circulaire autour de l'axe de vecteur rotation instantanée [46] à savoir «» et en regroupant les termes identiques ou semblables
«» soit finalement,
en factorisant vectoriellement à gauche par [25] dans la 1ère expression entre accolades du 2nd membre suivi de l'utilisation de la relation de Chasles [8] et en factorisant vectoriellement à gauche par le 1er puis le 2nd dans la 2ème expression entre accolades du 2nd membre suivi de l'utilisation de la relation de Chasles [8]
«» ;
le dernier terme de la relation ci-dessus pouvant être réécrit en utilisant une formule du double produit vectoriel selon «» avec « le projeté orthogonal de sur l'axe » [47] c.-à-d. que l'on reconnaît dans les deux termes « le vecteur accélération d'entraînement du point » ;
«» avec le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis [41] du point égal à «» et le vecteur accélération d'entraînement du point égal à «» dans lequel est un point fixe de et le projeté orthogonal de sur l'axe .
Cas particulier très fréquent : entraînement de rotation uniforme du référentiel d'entraînement autour d'un axe fixe du référentiel absolu
Dans le cas très fréquent où la rotation d'entraînement est uniforme c.-à-d. telle que le vecteur rotation instantanée est un vecteur constant noté , « la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un entraînement de rotation uniforme » se réécrit donc sous la forme
«» avec « le vecteur accélération d'entraînement de » dans lequel est le projeté de sur et « le vecteur accélération complémentaire ou de Coriolis [41] du point ».
Changement de référentiel de définition de la dérivée temporelle d'une grandeur vectorielle, formule de Bour
Considérant un 1er référentiel d'espace [2] appelé « référentiel absolu » et un 2ème référentiel d'espace [2] en mouvement relativement au précédent et appelé « référentiel d'entraînement », nous nous proposons d'étudier l'influence d'un changement de référentiel sur la variation de grandeurs vectorielles dépendant du temps selon , c.-à-d. de trouver le lien existant entre la dérivée temporelle de effectuée dans et celle effectuée dans connaissant le mouvement d'entraînement de dans , toutefois nous nous limiterons, dans l'exposé, au cas où cet entraînement est une rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels avec le vecteur rotation instantanée [48].
Soient une grandeur vectorielle dépendant du temps et Soient deux référentiels en mouvement l'un par rapport à l'autre, plus précisément Soient un référentiel d'entraînement en mouvement de rotation autour d'un axe fixe dans un référentiel absolu avec le vecteur rotation instantanée , le lien existant entre la dérivée temporelle de effectuée dans à savoir et celle effectuée dans à savoir est donné par la formule de Bour [49],[50] :
On peut utiliser la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation pour déterminer la dérivée temporelle de la grandeur vectorielle dans le référentiel absolu et pour cela on définit un point par son vecteur position dans le référentiel d'entraînement «» que l'on dérive par rapport à dans le référentiel absolu d'où «» par utilisation de la relation de Chasles [8] simultanément à la linéarité de l'opérateur dérivation temporelle, soit encore «» ou, en utilisant la loi de composition des vecteurs vitesses aux points et «» [52] et finalement «» en utilisant l'expression des vecteurs vitesses d'entraînement des points et puis, «» après factorisation vectorielle à gauche par [25] dans les deux derniers termes, suivi de «» après une nouvelle utilisation de la relation de Chasles [8] soit enfin, par définition du point , la relation «» C.Q.F.D. [31].
Remarques : on peut utiliser la formule de Bour à l'évaluation de la dérivée temporelle des vecteurs de base cartésienne du repère lié au référentiel d'entraînement en mouvement de rotation de vecteur rotation instantanée autour d'un axe fixe dans le référentiel absolu , on obtient alors
«» respectivement «» et s'il est nécessaire d'évaluer la dernière dérivée parce qu'elle n'est pas nulle [53] «»[54].
Remarques : L'application de la formule de Bour au vecteur rotation instantanée d'entraînement de rotation de autour de l'axe fixe de nous conduit à
«» vérifiant qu'il est inutile de préciser le référentiel dans lequel est effectuée la dérivation temporelle.
Remarques : Enfin pour terminer, dans la mesure où la formule de Bour a été démontrée par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses lors d'un entraînement de rotation autour d'un axe fixe dans les deux référentiels, il ne faut pas l'utiliser pour établir cette dernière [55].
↑ 4,0 et 4,1 Il faut bien sûr que la fonction scalaire ne décrive pas une propriété spécifique d'un référentiel comme par exemple le nombre de points matériels présents à un instant dans une boule centrée sur l'origine du repère lié au référentiel et de rayon fixé, sa valeur serait évidemment différente en prenant l'autre référentiel.
↑ 5,0 et 5,1 La non spécificité relativement à un référentiel est évidemment le cas quasi-général d'une fonction scalaire, c'est la raison pour laquelle cette condition n'est quasi jamais indiquée.
↑ On considère le champ de pesanteur terrestre en un point fixe relativement à la Terre, sa dépendance éventuelle relativement au temps nécessitera de définir le référentiel dans lequel on étudie sa variation.
↑ Il en est d'ailleurs de même de la composante suivant le vecteur de base cartésienne initialement horizontal et à l'axe de rotation, Il en est d'ailleurs de même de la composante suivant le vecteur de base cartésienne horizontal à l'axe de rotation restant quant à elle toujours nulle
↑ Si on choisit un point fixe dans c.-à-d. tel que on retrouve que a le même vecteur vitesse absolue que l'origine du repère lié à car , ce qui est en accord avec le mouvement de translation de relativement à .
↑ 10,010,110,2 et 10,3 On appelle « point coïncident deà l'instant» le point lié à c.-à-d. n'ayant aucun mouvement propre dans on peut aussi dire qu'il y est fixe et dont le mouvement dans est celui d'entraînement de relativement à dont la position à l'instant dans est la même que celle de au même instant on peut aussi dire que est l'empreinte que laisse dans à l'instant , cette empreinte garde la même position dans pour tout alors que change de position relativement à en particulier à un instant le point laissera une empreinte dans en une position différente.
↑ On définit le mouvement d'entraînement du point à l'instant comme le mouvement absolu du pointcoïncident de à l'instant , le vecteur vitesse d'entraînement de à l'instant étant donc le vecteur vitesse absolue de point coïncident de à l'instant , soit «» ici on précise que la dérivation temporelle doit être effectuée dans bien que ce ne soit pas utile dans le cas de deux référentiels en translation, pour que cette définition reste valable dans le cas où un référentiel est en rotation autour d'un axe fixe dans l'autre référentiel ; dans le cas de en translation relativement à , tous les points fixes de ayant le même mouvement dans , celui de l'origine du repère lié à , on en déduit «» ; la loi de composition des vecteurs vitesses se réécrit donc sous la forme «» nous montrerons que cette forme est en fait indépendante du mouvement d'entraînement du point avec toutefois le vecteur vitesse d'entraînement de à l'instant prenant une expression adaptée à chaque entraînement possible et si n'est pas en translation relativement à a priori on aura .
↑ Si on choisit un point fixe dans c.-à-d. tel que on retrouve que a le même vecteur accélération absolue que l'origine du repère lié à car , ce qui est en accord avec le mouvement de translation de relativement à .
↑ Ayant défini le mouvement d'entraînement du point à l'instant comme le mouvement absolu du pointcoïncident de à l'instant , le vecteur accélération d'entraînement de à l'instant étant donc le vecteur accélération absolu de point coïncident de à l'instant , soit «» ici on précise que la dérivation temporelle doit être effectuée dans bien que ce ne soit pas utile dans le cas de deux référentiels en translation, pour que cette définition reste valable dans le cas où un référentiel est en rotation autour d'un axe fixe dans l'autre référentiel ; dans le cas de en translation relativement à , tous les points fixes de ayant le même mouvement dans , celui de l'origine du repère lié à , on en déduit «» ; la loi de composition des vecteurs accélérations se réécrit donc sous la forme «» mais si les deux vecteurs accélérations du 2ème membre se retrouve quel que soit le mouvement d'entraînement du point avec toutefois le vecteur accélération d'entraînement de à l'instant prenant une expression adaptée à chaque entraînement possible et si n'est pas en translation relativement à a priori on aura «», cette forme n'est toutefois pas indépendante du mouvement d'entraînement du point car, dès que l'entraînement contient une rotation il faut ajouter un 3ème vecteur accélération appelé « accélération complémentaire ou de Coriolis » ; Gaspard-Gustave Coriolis (1792 - 1843) mathématicien et ingénieur français à qui on doit la notion d'accélération complémentaire à ajouter dans la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un changement de référentiels en rotation l'un par rapport à l'autre ainsi que la pseudo-force « dite de Coriolis » qu'il est nécessaire d'ajouter au bilan des forces appliquées pour traduire le mouvement du point par rapport à un référentiel d'étude non galiléen plus précisément en rotation autour d'un axe fixe relativement à un référentiel galiléen.
↑ Il devient alors indispensable de préciser dans quel référentiel on effectue la dérivation temporelle car n'a alors plus aucun sens dans la mesure où il peut s'agir de ou de avec si le référentiel est en rotation autour d'un axe fixe du référentiel .
↑ C.-à-d. correspondant à un entraînement de rotation uniforme.
↑ Ce choix n'est pas indispensable mais pratique, la rotation d'un point fixe dans se faisant alors dans un plan à , ses vecteurs vitesse et accélération absolues n'ont que deux composantes sur et sur ; Ce choix n'est pas indispensable mais pratique, dans le cas où est en mouvement dans , c'est son point coïncident à l'instant qui a un mouvement de rotation dans un plan à , ainsi les vecteurs vitesse et accélération d'entraînement de qui prennent pour valeur les vecteurs vitesse et accélération absolues de son point coïncident à l'instant considéré n'ont que deux composantes sur et sur mais bien sûr les vecteurs vitesse et accélération relative de peuvent avoir des composantes sur les trois vecteurs de base , et .
↑ Qui aurait été le vecteur vitesse relative du point si la dérivation avait été effectuée dans le référentiel d'entraînement mais cela n'a pas été le cas !
↑ Si on choisit un point fixe dans c.-à-d. tel que on retrouve que a le même vecteur vitesse absolue que son point coïncident au même instant car , ce qui est en accord avec la définition du point coïncident.
↑ 20,0 et 20,1 Ayant défini le mouvement d'entraînement du point à l'instant comme le mouvement absolu du pointcoïncident de à l'instant , le vecteur vitesse d'entraînement de à l'instant a donc pour valeur le vecteur vitesse absolue de point coïncident de à l'instant , soit «».
↑ On définit le champ des vecteurs vitesses d'entraînement relativement au point , ce champ prenant pour valeur le vecteur vitesse absolue du point coïncident de à l'instant mais attention il faut distinguer le champ de sa valeur et ceci en particulier quand on dérive temporellement : en effet dériver temporellement dans , le point y étant fixe «» alors que en effet effectuer la dérivation temporelle de dans conduit à «» par définition de et par suite en effet on peut affirmer qu'a priori «».
↑ Cette dernière dérivée est nulle si le vecteur a été choisi sur l'axe comme sur le cas de la figure mais ce choix, même s'il est très souvent fait, n'est pas indispensable.
↑ Dérivée nulle dans le cas où on choisit porté par l'axe de rotation ce qui est fréquent mais non indispensable.
↑ Cette démonstration peut être qualifiée d'« intrinsèque » car elle est faite sans intervention d'une quelconque base liée à l'un ou l'autre référentiel.
↑ étant un point fixe de peut aussi être utilisé comme origine du vecteur position de dans et par suite sa dérivée temporelle est effectivement le vecteur vitesse absolue de .
↑ On notera que «» la raison ayant déjà été donnée à la note « 19 » de ce chapitre, « prenant pour valeur ».
↑ 41,041,141,2 et 41,3Gaspard-Gustave Coriolis (1792 - 1843) mathématicien et ingénieur français à qui on doit la notion d'accélération complémentaire à ajouter dans la loi de composition des vecteurs accélérations lors d'un changement de référentiels en rotation l'un par rapport à l'autre ainsi que la pseudo-force « dite de Coriolis » qu'il est nécessaire d'ajouter au bilan des forces appliquées pour traduire le mouvement du point par rapport à un référentiel d'étude non galiléen plus précisément en rotation autour d'un axe fixe relativement à un référentiel galiléen.
↑ La dérivée temporelle du vecteur rotation instantanée gardant la même valeur dans le référentiel d'entraînement il devient inutile d'indiquer le référentiel dans lequel la dérivation est effectuée d'où «» que nous noterons simplement «», voir justification ci-dessous : introduisant un « point tel que », l'évaluation de la dérivée temporelle « se réécrit alors » par utilisation de la relation de Chasles et de la linéarité de la dérivation temporelle, définissant ainsi la différence entre le vecteur vitesse absolue du point et celui du point c.-à-d. «» ; on y applique la loi de composition des vecteurs vitesses soit «» avec on y applique «» d'une part et on y applique «» par utilisation de la relation de Chasles puis par distributivité de la multiplication vectorielle relativement à l'addition vectorielle voir le paragraphe « propriétés (de la multiplication vectorielle) » du chap. de la leçon « Outils mathématiques pour la physique (PCSI) » ou encore «» d'autre part, on y applique soit finalement «».
↑ La principale embûche de la méthode intrinsèque est d'écrire égal à alors que ce dernier prenant pour valeur doit être identifié à et non à d'où l'introduction possible dès le début d'une erreur, la méthode intrinsèque ne peut donc pas être utilisée sans réflexion contrairement à la méthode non intrinsèque exposée ci-après de pratique plus automatique.
↑ Bien que la formule que nous établirons soit indépendante de cette limitation.
↑Jacques Edmond Émile Bour (1832 - 1866) est un mécanicien et mathématicien français à qui on doit, entre autres, un travail sur la déformation des surfaces résolu en formant les équations différentielles de toutes les surfaces déformées à partir d'une surface donnée, ainsi que sur la relativité des mouvements dont la formule portant son nom ; il mourût à l'âge de ans.
↑ La formule de Bour est encore connue sous le nom de « formule de dérivation vectorielle ».
↑ Cette formule est encore applicable pour un entraînement de translation car dans ce cas et par suite est indépendant du référentiel, Cette formule est encore applicable pour un entraînement de rotation instantanée autour d'un axe non fixe dans et Cette formule est encore applicable pour un entraînement quelconque se décomposant en une translation instantanée de vecteur vitesse et une rotation instantanée autour d'un axe passant par non fixe dans
↑ Ce qui serait pourtant bien tentant, la seule condition pour l'utiliser serait de démontrer la formule de Bour autrement Si la formule de Bour avait été démontrée autrement on définirait alors les vecteurs positions dans et à partir d'un point fixe dans les deux, par exemple point fixe de l'axe fixe et on obtiendrait, en appliquant la formule de Bour à , la relation vectorielle suivante «» soit «» ce dernier terme s'identifiant à «» mais cette démonstration ne peut être acceptée que si la formule de Bour n'est pas démontrée par utilisation de la loi de composition des vecteurs vitesses