Задача Штурма — Лиувилля

Задача Шту́рма — Лиуви́лля, названная в честь Жака Шарля Франсуа Штурма и Жозефа Лиувилля, состоит в отыскании нетривиальных (то есть отличных от тождественного нуля) решений на промежутке $(a,\;b)$ уравнения Штурма — Лиувилля

$L[y]=\lambda \rho (x)y(x),$

удовлетворяющих однородным краевым (граничным) условиям

${\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2}+\beta _{2}^{2}\neq 0;\\\end{array}}$

и значений параметра $\lambda$, при которых такие решения существуют.

Оператор $L[y]$ здесь — это действующий на функцию $y(x)$ линейный дифференциальный оператор второго порядка вида

$L[y]\equiv {\frac {d}{dx}}\left[-p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y(x)$

(оператор Штурма — Лиувилля или оператор Шрёдингера), $x$ — вещественный аргумент.

Функции $p(x),\;p'(x),\;q(x),\;\rho (x)$ предполагаются непрерывными на $(a,\;b)$, кроме того функции $p(x),\;\rho (x)$ положительны на $(a,\;b)$.

Искомые нетривиальные решения называются собственными функциями этой задачи, а значения $\lambda$, при которых такое решение существует — её собственными значениями (каждому собственному значению соответствует собственная функция).

Постановка задачи

Вид уравнения

Если функции $\rho$ и $p$ дважды непрерывно дифференцируемы и положительны на отрезке $[a,b]$ и функция $q$ непрерывна на $[a,\;b]$, то уравнение Штурма — Лиувилля вида

$(p(x)y')'-q(x)y+\lambda \rho (x)y=0$

при помощи преобразования Лиувилля приводится к виду

$-y''+q_{1}(x)y=\lambda y.\qquad (1)$

Поэтому часто рассматривают уравнение Штурма — Лиувилля в виде (1), функцию $q_{1}(x)$ называют потенциалом. Изучаются задачи Штурма — Лиувилля с потенциалами из разных классов функций: непрерывными, $L$ (суммируемыми), $L_{2}$ и других.

Виды краевых условий

• Условия Дирихле $y(a)=y(b)=0.$
• Условия Неймана $y'(a)=y'(b)=0$
• Условия Робена $y'(a)-hy(a)=0,\quad y'(b)+Hy(b)=0.$
• Смешанные условия: условия разных видов в разных концах отрезка $[a,\;b]$.
• Распадающиеся краевые условия общего вида

${\begin{array}{l}\alpha _{1}y'(a)+\beta _{1}y(a)=0,\qquad \alpha _{1}^{2}+\beta _{1}^{2}\neq 0;\\\alpha _{2}y'(b)+\beta _{2}y(b)=0,\qquad \alpha _{2}^{2}+\beta _{2}^{2}\neq 0.\\\end{array}}$

• Периодические условия $y(a)=y(b),\quad y'(a)=y'(b)$.
• Антипериодические условия $y(a)=-y(b),\quad y'(a)=-y'(b)$.
• Общие краевые условия

$a_{i1}y(a)+a_{i2}y'(a)+a_{i3}y(b)+a_{i4}y'(b)=0,\quad i=1,\;2.$

В последнем случае обычно накладываются дополнительные условия регулярности на коэффициенты $a_{ij}$.

Для удобства произвольный отрезок $[a,\;b]$ часто переводят в отрезок $[0,\;l]$ или $[0,\;\pi ]$ с помощью замены переменной.

Оператор Штурма — Лиувилля

Оператор Штурма — Лиувилля

$Ly=-{\frac {1}{\rho (x)}}{\Bigl (}{\frac {d}{dx}}\left[p(x){\frac {d}{dx}}y\right]-q(x)y{\Bigr )}$

представляет собой частный случай линейного дифференциального оператора

$p_{0}(x)y^{(n)}+p_{1}(x)y^{(n-1)}+\ldots +p_{n}(x)y.$

Область определения оператора $L$ состоит из дважды непрерывно дифференцируемых на отрезке $[a,\;b]$ функций $y$, удовлетворяющих краевым условиям задачи Штурма — Лиувилля. Таким образом, задачу Штурма — Лиувилля можно рассматривать как задачу на собственные значения и собственные функции оператора $L$: $Ly=\lambda y$. Если функции $p,\ q,\ \rho$ и коэффициенты краевых условий вещественные, оператор $L$ является самосопряжённым в гильбертовом пространстве $L_{2}([a,\;b],\;\rho (x)\,dx)$. Следовательно, его собственные значения вещественны и собственные функции ортогональны с весом $\rho (x)$.

Решение задачи

Пример

Решение задачи Штурма — Лиувилля с нулевым потенциалом:

$-y''=\lambda y,\qquad (2)$

$y(0)=y(l)=0$

может быть найдено в явном виде. Пусть $\lambda =\rho ^{2}$. Общее решение уравнения (2) при каждом фиксированном $\lambda$ имеет вид

$y(x)=A\sin \rho x+B\cos \rho x\qquad (3)$

(в частности, при $\rho =0$ (3) дает $y(x)=Ax+B$). Из $y(0)=0$ следует $B=0$. Подставляя (3) в краевое условие $y(l)=0$, получаем $A\sin \rho l=0$. Так как мы ищем нетривиальные решения, то $A\neq 0$, и мы приходим к уравнению на собственные значения

$\sin \rho l=0.$

Его корни $\rho _{n}={\frac {\pi n}{l}}$, следовательно, искомые собственные значения имеют вид

$\lambda _{n}=\left({\frac {\pi n}{l}}\right)^{2},\quad n=1,\;2,\;3,\;\ldots$

а соответствующие им собственные функции суть

$y_{n}(x)=\sin {\frac {\pi n}{l}}x,\quad n=1,\;2,\;3,\;\ldots$

(с точностью до постоянного множителя).

Общий случай

В общем случае любое решение уравнения Штурма — Лиувилля

$-y''+q(x)y=\lambda y\qquad (4)$

представимо в виде линейной комбинации

$y(x)=AS(x,\;\lambda )+BC(x,\;\lambda )\qquad (5)$

его решений $S(x,\;\lambda )$ и $C(x,\;\lambda )$, удовлетворяющих начальным условиям

$S(0,\;\lambda )=C'(0,\;\lambda )=0,\quad S'(0,\;\lambda )=C(0,\;\lambda )=1$.

Решения $S(x,\;\lambda )$ и $C(x,\;\lambda )$ образуют фундаментальную систему решений уравнения (4) и являются целыми функциями по $\lambda$ при каждом фиксированном $x$. (При $q(x)\equiv 0$ $S(x,\;\lambda )=\sin \rho x$, $C(x,\;\lambda )=\cos \rho x$, $\rho ={\sqrt {\lambda }}$). Подставляя (5) в краевые условия $y(0)=y(\pi )=0$, получаем, что собственные значения совпадают с нулями характеристической функции

$\Delta (\lambda )=S(\pi ,\;\lambda ),$

аналитической во всей $\lambda$-плоскости.

В общем случае собственные значения и собственные функции не могут быть найдены в явном виде, однако для них получены асимптотические формулы:

${\sqrt {\lambda }}_{n}=n+{\frac {c}{n}}+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right),\quad c={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{\pi }q(\tau )\,d\tau ,$

$y_{n}(x)=\sin nx+O\left({\frac {1}{n^{2}}}\right),$

(в случае непрерывного на $[0,\;\pi ]$ потенциала $q(x)$). При больших $n$ собственные значения и собственные функции близки к собственным значениям и собственным функциям задачи из примера с нулевым потенциалом.

Свойства собственных значений и собственных функций

• Существует бесконечное счетное множество собственных значений: $\lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots <\lambda _{n}<\ldots$
• Каждому собственному значению $\lambda _{n}$ соответствует единственная с точностью до постоянного множителя собственная функция $y_{n}$.
• Все собственные значения вещественны.
• В случае граничных условий $y(a)=y(b)=0$ и при выполнении условия $q(x)\geqslant 0$ все собственные значения положительны $\lambda _{n}>0$.
• Собственные функции $y_{n}(x)$ образуют на $[a,\;b]$ ортогональную с весом $\rho (x)$ систему $\{y_{n}(x)\}$:

$\int \limits _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)\rho (x)\,dx=0,\quad n\neq m.$

• Имеет место теорема Стеклова.

Численные методы решения

• Метод стрельбы. Чтобы решить задачу Штурма — Лиувилля с краевыми условиями Дирихле $y(a)=y(b)=0$, можно взять для исходного уравнения задачу Коши с начальными условиями $u(a)=0$, $u'(a)=\lambda$ и вести пристрелку параметра $\lambda$ до выполнения правого краевого условия.
• Метод конечных разностей. Строится конечно-разностная аппроксимация, которая позволяет заменить задачу Штурма — Лиувилля задачей нахождения собственных значений матрицы.
• Метод дополненного вектора. Разностная собственная функция $y=\{y_{0},\;y_{1},\;\ldots ,\;y_{N}\}$ дополняется компонентой $y_{N+1}=\lambda$. Относительно дополненного вектора получается нелинейная система, которая может быть решена методом Ньютона.
• Метод Галёркина.
• Вариационные методы.

Применение к решению уравнений в частных производных

Основная статья: Метод Фурье

Задачи Штурма — Лиувилля возникают при решении уравнений в частных производных методом разделения переменных.

В качестве примера рассмотрим краевую задачу для уравнения гиперболического типа:

$\rho (x)u_{tt}=(k(x)u_{x})_{x}-q(x)u,\quad 0<x<l,\;t>0,\qquad (6)$

$(h_{1}u_{x}-hu)_{|x=0}=0,\quad (H_{1}u_{x}+Hu)_{|x=l}=0,\qquad (7)$

$u_{|t=0}=\Phi (x),\quad u_{t|t=0}=\Psi (x).\qquad (8)$

Здесь $x$ и $t$ — независимые переменные, $u(x,\;t)$ — неизвестная функция, $\rho$, $k$, $q$, $\Phi$, $\Psi$ — известные функции, $h,\ h_{1},\ H,\ H_{1}$ — вещественные числа. Будем искать не равные тождественно нулю частные решения уравнения (6), удовлетворяющие краевым условиям (7) в виде

$u(x,t)=Y(x)T(t).\qquad (9)$

Подстановка вида (9) в уравнение (6) дает

${\frac {(k(x)Y'(x))'-q(x)Y(x)}{\rho (x)Y(x)}}={\frac {T''(t)}{T(t)}}.$

Так как $x$ и $t$ — независимые переменные, то равенство возможно только если обе дроби равны константе. Обозначим эту константу через $-\lambda$. Получаем

$T''(t)+\lambda T(t)=0,\qquad (10)$

$-(k(x)Y'(x))'+q(x)Y(x)=\lambda \rho (x)Y(x),\quad 0<x<l.\qquad (11)$

Подстановка вида (9) в краевые условия (7) дает

$h_{1}Y'(0)-hY(0)=0,\quad H_{1}Y'(l)+HY(l)=0.\qquad (12)$

Нетривиальные решения (6) — (7) вида (9) существуют только при значениях $\lambda$, являющихся собственными значениями задачи Штурма — Лиувилля (11) — (12) $\lambda _{n}$. Эти решения имеют вид $T_{n}(t)Y_{n}(x)$, где $Y_{n}(x)$ — собственные функции задачи (11) — (12), $T_{n}(t)$ — решения уравнения (10) при $\lambda =\lambda _{n}$. Решение задачи (6) — (8) находится в виде суммы частных решений (ряда Фурье по собственным функциям задачи Штурма — Лиувилля $Y_{n}(x)$):

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }T_{n}(t)Y_{n}(x).$

Обратные задачи Штурма — Лиувилля

Обратные задачи Штурма — Лиувилля состоят в восстановлении потенциала $q(x)$ оператора Штурма — Лиувилля $-y''+q(x)y$ и коэффициентов краевых условий по спектральным характеристикам. Обратные задачи Штурма — Лиувилля и их обобщения имеют приложения в механике, физике, электронике, геофизике, метеорологии и других областях естествознания и техники. Существует важный метод интегрирования нелинейных эволюционных уравнений (например, уравнения КдФ), связанный с использованием обратной задачи Штурма — Лиувилля на оси ($-\infty <x<\infty$).

Одного спектра (множества собственных значений) как правило недостаточно для того, чтобы однозначно восстановить оператор. Поэтому в качестве исходных данных обратной задачи обычно используют следующие спектральные характеристики:

1. Два спектра, соответствующие разным краевым условиям (задача Борга).
2. Спектральные данные, включающие в себя собственные значения и весовые числа, равные квадратам норм собственных функций в пространстве $L_{2}$.
3. Функцию Вейля — мероморфную функцию, равную отношению двух характеристических функций разных краевых задач.

Каждый из наборов данных 1 — 3 однозначно определяет потенциал $q(x)$. Кроме того, задание функции Вейля равносильно заданию двух спектров или спектральных данных, поэтому обратные задачи по данным 1 — 3 эквивалентны. Существуют конструктивные методы решения обратных задач Штурма — Лиувилля, основанные на сведении нелинейных обратных задач к линейным уравнениям в некоторых банаховых пространствах.

См. также

• Краевая задача
• Собственный вектор
• Дифференциальный оператор
• Метод разделения переменных

Литература

• Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. — 432 с. — ISBN 5-02-013751-0.
• Марченко В. А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения. — Киев: Наукова думка, 1977.
• Ахтямов А. М., Садовничий В. А., Султанаев Я. Т. Обратные задачи Штурма — Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. — М.: Изд-во Московского университета, 2009. — 184 с. — ISBN 978-5-211-05557-5.
• Юрко В. А. Уравнения математической физики. — Саратов, 2010.
• Юрко В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач. — М.: Физматлит, 2007. — 384 с. — ISBN 978-5-9221-07.
• Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. — М.: Наука, 1969.
• Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.