இருமப் பன்முகி
வடிவவியலில் ஒவ்வொரு பன்முகிக்கும் ஒரு இரும வடிவம் உண்டு. இருமப் பன்முகத்திண்மங்கள் அல்லது இருமப் பன்முகிகள் (dual polyhedron, பன்மை: dual polyhedra) இரண்டில் ஒன்றன் உச்சிகளுக்கு ஒத்தவையாக மற்றதன் முகங்கள் இருக்கும். மேலும் ஒன்றன் உச்சிகளின் சோடிகளை இணைக்கும் விளிம்புகளுக்கு ஒத்ததாக மற்றதன் முகங்களின் சோடிகளுக்கு இடையிலுள்ள விளிம்புகள் இருக்கும்.[1] இரும வடிவங்கள் கருத்தியலானவை; எல்லா இருமங்களும் வடிவவியல் பன்முகிகளாக இருப்பதில்லை.[2] ஒரு பன்முகியின் இருமத்தின் இருமம் அதே பன்முகியாக இருக்கும்.
இருமத்தன்மை ஒரு பன்முகியின் சமச்சீர்மையைப் பாதுகாக்கும். இதனால் ஒரு குறிப்பிட்ட சமச்சீர்மை தொகுதியிலுள்ள பன்முகிகளின் இருமங்கள் அதே சமச்சீர்மை தொகுதியைச் சேர்ந்ததாகவே இருக்கும். எடுத்துக்காட்டாக ஒழுங்கு பன்முகிகளான பிளேட்டோவின் சீர்திண்மங்களும் கெப்ளர்-பாயின்சாட்டு சீர்திண்மங்களும் இருமங்களாக இருக்கும். ஒழுங்கு நான்முகி, தனக்குத்தானே இருமம் (தன்-இருமம்) ஆகும்.
சில ஒழுங்குப் பன்முகிகளின் இருமங்கள் கீழே தரப்பட்டுள்ளன:
- நான்முகி தன்-இருமம் கொண்டது. அதாவது தனக்குத்தானே இருமமாக இருக்கும்.
- கனசதுரமும் எண்முகியும் ஒன்றுக்கொன்று இருமங்கள்.
- இருபதுமுகியும் பன்னிருமுகியும் ஒன்றுக்கொன்று இருமங்கள்.
- சிறு நாள்மீன் பன்னிருமுகியும் பெரு பன்னிருமுகியும் ஒன்றுக்கொன்று இருமங்கள்
- பெரு நாள்மீன் பன்னிருமுகியும் பெரு இருபதுமுகியும் ஒன்றுக்கொன்று இருமங்கள்.
ஒரு பன்முகியின் இசுலாபிலிக் குறியீடு {n, m} எனில், அதன் இருமப் பன்முகியின் இசுலாபிலிக் குறியீடு {m, n}.
குறிப்புகள்
தொகு- ↑ (Wenninger 1983), "Basic notions about stellation and duality", p. 1.
- ↑ (Grünbaum 2003)
ஆதார நூற்பட்டியல்
தொகு- Cundy, H. Martyn; Rollett, A. P. (1961), Mathematical Models (2nd ed.), Oxford: Clarendon Press, MR 0124167.
- Gailiunas, P.; Sharp, J. (2005), "Duality of polyhedra", International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 36 (6): 617–642, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1080/00207390500064049.
- Grünbaum, Branko (2003), "Are your polyhedra the same as my polyhedra?", in Aronov, Boris; Basu, Saugata; Pach, János; Sharir, Micha (eds.), Discrete and Computational Geometry: The Goodman–Pollack Festschrift, Algorithms and Combinatorics, vol. 25, Berlin: Springer, pp. 461–488, CiteSeerX 10.1.1.102.755, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1007/978-3-642-55566-4_21, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-3-642-62442-1, MR 2038487.
- Grünbaum, Branko (2007), "Graphs of polyhedra; polyhedra as graphs", Discrete Mathematics, 307 (3–5): 445–463, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1016/j.disc.2005.09.037, hdl:1773/2276, MR 2287486.
- Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. (2013), "Duality of polyhedra", in Senechal, Marjorie (ed.), Shaping Space: Exploring polyhedra in nature, art, and the geometrical imagination, New York: Springer, pp. 211–216, எண்ணிம ஆவணச் சுட்டி:10.1007/978-0-387-92714-5_15, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 978-0-387-92713-8, MR 3077226.
- Wenninger, Magnus (1983), Dual Models, Cambridge University Press, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0-521-54325-8, MR 0730208.
- Barvinok, Alexander (2002), A course in convexity, Providence: American Mathematical Soc., பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண் 0821829688.
வெளியிணைப்புகள்
தொகு- Weisstein, Eric W., "Dual polyhedron", MathWorld.
- Weisstein, Eric W., "Dual tessellation", MathWorld.
- Weisstein, Eric W., "Self-dual polyhedron", MathWorld.