Квадратурна формула Гаусса — Лаґерра

У чисельному аналізі квадрату́рна фо́рмула Га́усса — Лаґе́рра або метод Гаусса — Лаґерра — це поліпшення формули чисельного інтегрування Гаусса.

Квадратурна формула Гаусса — Лаґерра апроксимує значення інтегралів вигляду:

$\int \limits _{0}^{+\infty }e^{-x}f(x)\,dx$

поруч за $n$ точками:

$\int \limits _{0}^{+\infty }e^{-x}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}),$

де $x_{i}$ — це $i$-й корінь полінома Лаґерра $L_{n}(x)$, а коефіцієнти $w_{i}$:

$w_{i}={\frac {x_{i}}{(n+1)^{2}L_{n+1}^{2}(x_{i})}}.$

Для функції довільного вигляду

Для інтеграла довільної функції можна записати:

$\int \limits _{0}^{+\infty }f(x)\,dx=\int \limits _{0}^{+\infty }f(x)e^{x}e^{-x}\,dx=\int \limits _{0}^{+\infty }g(x)e^{-x}\,dx,$

де $g(x)=f(x)e^{x}$.

Далі можна застосувати квадратурну формулу Гаусса — Лаґерра до нової функції $g(x)$.

Див. також

• Чисельне інтегрування