Στην γραμμική άλγεβρα, μία γραμμική απεικόνιση (ή γραμμικός μετασχηματισμός) μεταξύ δύο διανυσματικών χώρων και επί του σώματος είναι μία συνάρτηση η οποία ικανοποιεί
- , για κάθε , και
- , για κάθε και .
Οι παραπάνω σχέσεις ονομάζονται σχέσεις γραμμικότητας και είναι ισοδύναμες με την σχέση
- , για κάθε και .
Αν οι διανυσματικοί χώροι και ταυτίζονται, τότε η γραμμική απεικόνιση ονομάζεται γραμμικός τελεστής ή αλλιώς ενδομορφισμός.
Οι παρακάτω ιδιότητες ισχύουν για όποια απεικόνιση :
- .
Απόδειξη
|
Θεωρούμε ένα διάνυσμα . Τότε,
|
- Για οποιαδήποτε διανύσματα και σταθερές , ισχύει ότι
- .
Απόδειξη
|
Η απόδειξη είναι με την χρήση επαγωγής.
Βασική περίπτωση: Για η σχέση ισχύει από τον ισοδύναμο ορισμό των σχέσεων γραμμικότητας.
Επαγωγική περίπτωση: Έστω ότι ισχύει για , δηλαδή
- .
τότε για έχουμε ότι
- .
|
- Η συνάρτηση για είναι γραμμική.
- Η μηδενική συνάρτηση είναι γραμμική.
- Για κάθε πίνακα η συνάρτηση είναι γραμμική (για ).
- Στον διανυσματικό χώρο των ολοκληρώσιμων πραγματικών συναρτήσεων, η συνάρτηση
- είναι γραμμική.
- Στον διανυσματικό χώρο των πραγματικών συνεχών συναρτήσεων η συνάρτηση
- είναι γραμμική.
Σε κάθε διανυσματικό χώρο πεπερασμένης διάστασης έχουμε ότι κάθε απεικόνιση αντιστοιχεί σε έναν πίνακα.
Έστω μία βάση του διανυσματικού χώρου . Τότε κάθε διάνυσμα μπορεί να γραφτεί ως
- ,
για κάποια . Επομένως για έναν μετασχηματισμό έχουμε από τις παραπάνω ιδιότητες ότι
- .
Αυτό το άθροισμα μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο πινάκων
Παρατηρήστε ότι τα διανύσματα δεν εξαρτώνται από το , επομένως ο πίνακας περιγράφει τον μετασχηματισμό . Αυτό μας δίνει και έναν τρόπο να υπολογίζουμε τον πίνακα που αντιστοιχεί στον γραμμικό μετασχηματισμό, υπολογίζοντας απλά τον μεταχηματισμό για τα διανύσματα μία βάσης του .
Περιστροφή του
κατά γωνία
.
Περιστροφή του
κατά γωνία
.
Για να υπολογίσουμε τον πίνακα περιστροφής κατά γωνία από την αρχή των αξόνων, θα υπολογίσουμε τον μετασχηματισμό της βάσης
Με την βοήθεια των σχημάτων έχουμε ότι
Επομένως, ο πίνακας περιστροφής δίνεται από