Omeomorfismo
In matematica, e più precisamente in topologia, un omeomorfismo (dal greco homoios = simile e morphe = forma, da non confondere con omomorfismo) è una particolare funzione fra spazi topologici che modella l'idea intuitiva di "deformazione senza strappi".
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La nozione di omeomorfismo è molto importante in topologia. Due spazi topologici e collegati da un omeomorfismo sono detti omeomorfi: da un punto di vista topologico, questi risultano essere praticamente uguali. In particolare, hanno gli stessi invarianti topologici.
Definizione
modificaUn omeomorfismo fra due spazi topologici e è una funzione continua che è anche biunivoca e la cui inversa è anch'essa continua.[1]
Una definizione equivalente è la seguente: un omeomorfismo è una corrispondenza biunivoca fra spazi topologici tale che un sottoinsieme di è aperto se e solo se lo è la sua immagine in . Brevemente, è una corrispondenza biunivoca fra spazi topologici che induce una corrispondenza biunivoca fra i loro aperti.
Se esiste un omeomorfismo tra e , i due spazi sono detti omeomorfi. La relazione di omeomorfismo fra spazi topologici è una relazione di equivalenza.
Esempi
modificaIntervalli della retta reale
modificaSiano due numeri reali. La funzione
è un omeomorfismo. Infatti è continua, biunivoca, e la sua inversa
è anch'essa continua. Ogni intervallo chiuso e limitato è quindi omeomorfo all'intervallo . Dalla proprietà transitiva segue quindi che gli intervalli chiusi e limitati sono tutti omeomorfi fra loro.
Si verifica analogamente che gli intervalli aperti sono tutti omeomorfi fra loro. Non solo: un intervallo aperto è omeomorfo all'intera retta reale tramite la funzione tangente
che è biunivoca, continua e con inversa continua (la funzione arcotangente). La limitatezza non è quindi un invariante topologico: uno spazio limitato come può essere omeomorfo ad uno spazio illimitato, come .
Proprietà
modificaDue spazi omeomorfi godono esattamente delle stesse proprietà topologiche (separabilità, connessione, semplice connessione, compattezza...). Nel linguaggio della teoria delle categorie, si dice che un omeomorfismo è un isomorfismo tra spazi topologici.
Note
modifica- ^ M. Manetti, p. 45.
Bibliografia
modifica- Edoardo Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, Torino 2006, ISBN 88-339-5548-6.
- Marco Manetti, Topologia, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0756-7.
Voci correlate
modificaAltri progetti
modifica- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sull'omeomorfismo
Collegamenti esterni
modifica- (EN) homeomorphism / topological equivalence, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Omeomorfismo / Omeomorfismo (altra versione), su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Omeomorfismo / Omeomorfismo (altra versione), su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
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