Czworościan
Czworościan – ostrosłup trójkątny, czyli wielościan o czterech trójkątnych ścianach[1]. Każdy czworościan posiada 6 krawędzi i 4 wierzchołki[a]. Czworościan jest trójwymiarowym sympleksem.
Niektóre z zamieszczonych tu informacji wymagają weryfikacji. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Jeśli wszystkie ściany czworościanu są trójkątami równobocznymi, czworościan nazywany jest czworościanem foremnym. Trzeba odróżniać czworościan foremny od ostrosłupa trójkątnego foremnego (czyli prawidłowego): dla tego drugiego tylko jedna ściana koniecznie musi być trójkątem równobocznym, pozostałe zaś są trójkątami równoramiennymi (zob. Ostrosłup prawidłowy). Czworościan foremny jest szczególnym przypadkiem ostrosłupa trójkątnego foremnego.
Wzory
edytujObjętość czworościanu (niekoniecznie foremnego) o wierzchołkach dana jest wzorem:
gdzie zmienna pomocnicza to wyznacznik
to długość krawędzi łączącej wierzchołek z wierzchołkiem
Promień kuli opisanej na czworościanie:
gdzie zmienna pomocnicza to
Promień kuli wpisanej można wyznaczyć za pomocą wzoru:
gdzie to pole ściany niezawierającej wierzchołka
Kąt trójścienny oraz długości wychodzących z niego krawędzi wyznaczają jednoznacznie czworościan. Jeśli i i oraz i są punktami leżącymi parami na prostych zawierających ramiona kąta trójściennego o wierzchołku S, to objętości czworościanów i spełniają zależność[2]:
Dowód tego faktu można przeprowadzić bez zmniejszenia ogólności zakładając, że jedna z par punktów leży na tej samej półprostej (ewentualna symetria środkowa względem S jednego z czworościanów), a nawet że jeden punkt jest wspólny (jednokładność jednego z czworościanów zmienia objętość jak sześcian skali). Wówczas czworościany mają wspólną wysokość i stosunek pól podstaw wynikający ze wzoru:
Uwagi
edytuj- ↑ Jest to zgodne z twierdzeniem Eulera o wielościanach: χ = W – K + S = 4 – 6 + 4 = 2.
Przypisy
edytuj- ↑ czworościan, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
- ↑ Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2003, s. 250–251. ISBN 83-86007-63-X.
Linki zewnętrzne
edytuj- Eric W. Weisstein , Tetrahedron, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12] (ang.).