Twierdzenie Poissona
![]() |
Ten artykuł od 2011-08 zawiera treści, przy których brakuje odnośników do źródeł. |
Twierdzenie Poissona dostarcza dobrego przybliżenia uzyskania konkretnej liczby sukcesów w schemacie Bernoulliego w przypadku, gdy prawdopodobieństwo sukcesu jest małe oraz iloczyn prawdopodobieństwa sukcesu i liczby prób dąży do pewnej stałej.
Twierdzenie
edytujNiech będzie ciągiem zmiennych losowych o rozkładach dwumianowych Wówczas jeżeli
to
lub równoważnie
Dowód
edytujZ definicji rozkładu dwumianowego dostajemy, że
Niech Wówczas Mamy zatem
- [1].
Uwaga
edytujMożna przeprowadzić dowód w inny sposób, używając funkcji charakterystycznej. Wystarczy wykazać, że funkcja charakterystyczna zmiennej dąży do funkcji charakterystycznej rozkładu Poissona o stałej
- jeśli to
Komentarz
edytujTwierdzenie Poissona podobnie jak centralne twierdzenie graniczne służy do opisywania sum niezależnych zmiennych losowych. Różnica między tymi twierdzeniami polega na tym, że centralne twierdzenie graniczne mówi nam o sytuacjach, w których prawdopodobieństwo zajścia pojedynczego zdarzenia jest umiarkowane, a twierdzenie Poissona opisuje sytuacje, w których prawdopodobieństwo zajścia pojedynczego zdarzenia jest małe. Dobrym przykładem sytuacji, w której warto stosować twierdzenie Poissona do oszacowań, jest prawdopodobieństwo wygrania dużej kwoty na loterii.
Przypisy
edytuj- ↑ Jakubowski i Sztencel 2004 ↓, s. 166.
Bibliografia
edytuj- Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.