Квадратурная формула Гаусса — Лагерра

Для термина «Формула Гаусса» см. также другие значения.

В численном анализе квадратурная формула Га́усса — Лаге́рра, или метод Гаусса — Лагерра, — это улучшение формулы численного интегрирования Гаусса.

Квадратурная формула Гаусса — Лагерра аппроксимирует значения интегралов вида:

$\int \limits _{0}^{+\infty }e^{-x}f(x)\,dx$

рядом по $n$ точкам:

$\int \limits _{0}^{+\infty }e^{-x}f(x)\,dx\approx \sum _{i=1}^{n}w_{i}f(x_{i}),$

где $x_{i}$ — это $i$-й корень полинома Лагерра $L_{n}(x)$, а коэффициенты $w_{i}$:

$w_{i}={\frac {x_{i}}{(n+1)^{2}L_{n+1}^{2}(x_{i})}}.$

Для функции произвольного вида

Для интеграла произвольной функции можно записать:

$\int \limits _{0}^{+\infty }f(x)\,dx=\int \limits _{0}^{+\infty }f(x)e^{x}e^{-x}\,dx=\int \limits _{0}^{+\infty }g(x)e^{-x}\,dx,$

где $g(x)=f(x)e^{x}$.

Далее можно применить квадратурную формулу Гаусса — Лагерра к новой функции $g(x)$.

См. также

• Численное интегрирование