Число ударов молекул газа об единицу поверхности стенки за единицу времени:
\[
v=1 / 4 n\langle v\rangle,
\]

где $n$-концентрацня молекул, $\langle v\rangle$-их средняя скорость.
Уравнеиие состояния идеального газа:
\[
p=n k T .
\]
– Средняя эиергия молекул:
\[
\langle\varepsilon\rangle=\frac{i}{2} k T \text {, }
\]

где $i$-сумма поступательных, вращательных и удвюнного чнсла колебательных степеней свободы.
– Распределение Максвелла:
\[
\begin{array}{l}
d N\left(v_{x}\right)=N\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{1 / 2} \mathrm{e}^{-m v_{x}^{2} / 2 k T} d v_{x}, \\
d N(v)=N\left(\frac{m}{2 \pi k T}\right)^{3 / 2} \mathrm{e}^{-m v^{2} / 2 k T} 4 \pi v^{2} d v .
\end{array}
\]

Распределение Максвелла в приведенном виде:
\[
d N(u)=N \frac{4}{\sqrt{\pi}} \mathrm{e}^{-u^{2} u^{2}} d u,
\]

где $u=v / v_{\text {вер }}, v_{\text {вер }}$ – наиболее вероятная скорость.
– Наиболее вероятная, средняя и средняя квадратичная скорости молекул:
\[
v_{\text {вер }}=\sqrt{2 \frac{k T}{m}}, \quad\langle v\rangle=\sqrt{\frac{8}{\pi} \frac{k T}{m}}, \quad \quad_{\text {кв }}=\sqrt{3 \frac{k T}{m}} .
\]

Распределение Больцмана:
\[
n=n_{0} \mathrm{e}^{-\left(U-U_{0}\right) / k r},
\]

где $U$-потенциальная энергия молекулы.
2.62. Современные вакуумные насосы позволяют получать давления до $p=4 \cdot 10^{-15}$ атм (при комнатной температуре). Считая, что газом является азот, найти число его молекул в $1 \mathrm{~cm}^{3}$ и среднее расстояние между ними при этом давлении.
$:$ 2.63. В сосуде объемом $V=5,0$ л находится азот массы $m=$ $=1,4 \mathrm{r}$ при температуре $T=1800 \mathrm{~K}$. Найти давление газа, имея в виду, что при этой температуре $\eta=30 \%$ молекул диссоциировано на атомы.
2.64. Плотность смеси гелия и азота при нормальных условиях $\rho=0,60 \mathrm{r} /$ л. Найти концентрацию атомов гелия в данной смеси.
2.65. Параллельный пучок молекул азота, имеющих скорость $\boldsymbol{v}=400 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$, падает на стенку под углом $\boldsymbol{\vartheta}=30^{\circ}$ к ее нормали. Концентрация молекул в пучке $n=0,9 \cdot 10^{19} \mathrm{~cm}^{-3}$. Найти давление пучка на стенку, считая, что молекулы отражаются от нее по закону абсолютно упругого удара.
2.66. Найти число степеней свободы молекулы газа, если при нормальных условиях плотность газа $\rho=1,3 \mathrm{mг} / \mathrm{cм}^{3}$ и скорость распространения звука в нем $v=330 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
2.67. Определить отношение скорости $v$ звука в газе к средней квадратичной скорости молекул газа, если молекулы:
a) одноатомные; б) жесткие двухатомные.
2.68. Газ, состоящий из $N$-атомных молекул, имеет температуру $T$, при которой у молекул возбуждены все степени свободы (поступательные, вращательные и колебательные). Найти среднюю энергию молекулы такого газд. Какую часть этой энергии составляет энергия поступательного движения?
2.69. Пусть газ нагрет до температуры, при которой у молекул возбуждены все степени свободы (поступательные, вращательные и колебательные). Найти молярную теплоемкость такого газа при изохорическом процессе, а также показатель адиабаты $\gamma$, если газ состоит из молекул:
а) двухатомных ;
б) линейных $N$-атомных;
в) объемных $N$-атомных.
2.70. Идеальный газ, состоящий из $N$-атомных молекул, расширяют изобарически. Считая, что у молекул возбуждены все степени свободы (поступательные, вращательные и колебательные), найти, какая доля теплоты, сообщаемой газу в этом процессе, расходуется на работу расширения. Чему равна эта доля для одноатомного газа?
2.71. Найти молярную массу и число степеней свободы молекул газа, если известны его удельные теплоемкости: $c_{V}=0,65$ Дж/( $\left.\mathrm{r} \cdot \mathrm{K}\right)$ и $c_{p}=0,91$ Дж/( $\left.\mathrm{r} \cdot \mathrm{K}\right)$.
2.72. Найти число степеней свободы молекул газа, молярная теплоемкость которого
a) при постоянном давлении $C_{p}=29$ Дж/(моль-K);
б) в процессе $p T=$ const равна $C=29$ Дж/(моль-К).
2.73. Вычислить показатель адиабаты $\gamma$ для смеси, состоящей из $v_{1}$ молей одноатомного газа и $v_{2}$ молей двухатомного газа из жестких молекул.
2.74. Теплоизолированный сосуд с газообразным азотом при температуре $t=27^{\circ} \mathrm{C}$ движется со скоростью $v=100 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Қак и на сколько процентов изменится давление газа после внезапной остановкіи сосуда?
2.75. Вычислить при температуре $t=17^{\circ} \mathrm{C}$ :
a) среднюю квадратичную скорость и среднюю кинетическую әнергию поступательного движения молекулы кислорода;
б) среднюю квадратичную скорость капельки воды диаметра $d=0,10$ мкм, взвешенной в воздухе.
2.76. Во сколько раз надо расширить адиабатически газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, чтобы их средняя квадратичная скорость уменьшилась в $\eta=1,50$ раза?
2.77. Азот массы $m=15$ г находится в закрытом сосуде при температуре $T=300 \mathrm{~K}$. Қакое количество тепла необходимо соббить азоту, чтобы средняя квадратичная скорость его молекул возросла в $\eta=2,0$ раза?
2.78. Газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, находится при температуре $T=300 \mathrm{~K}$. Вычислить среднюю квадратичную угловую скорость вращения молекулы, если ее момент инерции $I=2,1 \cdot 10^{-39} \mathrm{r} \cdot \mathrm{CM}^{2}$.
2.79. Газ из жестких двухатомных молекул, находившийся при нормальных условиях, адиабатически сжали в $\eta=5,0$ раза по объему. Найти среднюю кинетическую энергию вращательного движения молекулы в конечном состоянии.
2.80. Во сколько раз изменится число ударов жестких двухатомных молекул газа о поверхность стенки в единицу времени, если газ адиабатически расширить в $\eta$ раз?
2.81. Объем газа, состоящего из жестких двухатомных молекул, увеличили в $\eta=2,0$ раза по политропе с молярной теплоемкостью $C=R$. Во сколько раз изменилась при этом частота ударов молекул о стенку сосуда?
2.82. Газ, состоящий из жестких двухатомных молекул, расширили политропически так, что частота ударов молекул о стенку сосуда не изменилась. Найти молярную теплоемкость газа в этом процессе.
2.83. Вычислить наиболее вероятную, среднюю и среднюю квадратичную скорости молекул газа, у которого при нормальном атмосферном давлении плотность $\rho=1,00 \mathrm{r} / л$.
2.84. Найти относительное число молекул газа, скорости которых отличаются не более чем на $\delta \eta=1,00 \%$ от значения:
a) наиболее вероятной скорости;
б) средней квадратичной скорости.
2.85. Определить температуру газа, для которой:
a) средняя квадратичная скорость молекул водорода больше их наиболее вероятной скорости на $\Delta v=400 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$;
б) функция распределения молекул кислорода по скоростям $F(v)$ будет иметь максимум при скорости $v=420 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$.
2.86. Найти для газообразного азота:
a) температуру, при которой скоростям молекул $v_{1}=300 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ и $v_{2}=600 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ соответствуют одинаковые значения функции распределения Максвелла $F(v)$;
б) скорость $v$ молекул, при которой значение функции распределения Максвелла $F(v)$ для температуры $T_{0}$ будет таким же, как и для температуры в $\eta$ раз большей.
2.87. При какой температуре газа, состоящего из смеси азота и кислорода, наиболее вероятные скорости молекул азота и кислорода будут отличаться друг от друга на $\Delta v=30 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ ?
2.88. Смесь водорода и гелия находится при температуре $T=300 \mathrm{~K}$. При каком значении скорости $v$ молекул значения максвелловской функции распределения по скоростям $F(v)$ будут одинаковыми для обоих газов?
2.89. При какой температуре газа число молекул со скоростями в заданном интервале $v, v+d v$ будет максимально? Масса каждой молекулы равна $m$.
2.90. Определить относительное число молекул, проекции скорости которых на ось $x$ лежат в интервале $v_{x}, v_{x}+d v_{x}$, а модули перпендикулярной составляющей скорости – в интервале $v_{\perp}, v_{\perp}+$ $+d v_{1}$. Масса каждой молекулы $m$, температура газа $T$.
2.91. Вычислить с помощью распределения Максвелла среднюю проекцию скорости $\left\langle v_{x}\right\rangle$ и среднее значение модуля этой проекции $\left\langle\left|v_{x}\right|\right\rangle$, если масса каждой молекулы $m$ и температура газа $T$.
2.92. Найти с помощью распределения Максвелла $\left\langle v_{x}^{2}\right\rangle$ – среднее значение квадрата $v_{x}$-проекции скорости молекул газа при температуре $T$. Масса каждой молекулы равна $m$.
2.93. Вычислить с помощью распределения Максвелла число $v$ молекул газа, падающих в единицу времени на единичную площадку, если концентрация молекул $n$, температура $T$ и масса каждой молекулы $m$.
2.94. Определить с помощью распределения Максвелла давление, оказываемое газом на стенку, если температура газа $T$ и концентрация молекул $n$.
2.95. Воспользовавшись распределением Максвелла, найти $\langle 1 / v\rangle$ – среднее значение обратной скорости молекул идеального газа, находящегося при температуре $T$, если масса каждой молекулы $m$. Сравнить полученную величину с обратной величиной средней скорости.
2.96. Газ состоит из молекул массы $m$ и находится при температуре $T$. Найти с помощью распределения Максвелла по скоростям $v$ соответствующее распределение молекул по кинетическим энергиям $\varepsilon$. Определить наиболее вероятное значение кинетической әнергии $\varepsilon_{\text {вер }}$. Соответствует ли $\varepsilon_{\text {вер }}$ наиболее вероятной скорости?
2.97. Қакая часть одноатомных молекул газа, находящегося в тепловом равновесии, имеет кинетическую энергию, отличающуюсяе от ее среднего значения на $\delta \eta=1,0 \%$ ?
2.98. Қакая часть молекул газа, находящегося при температуре $T$, имеет кинетическую энергию поступательного движения большую, чем $\varepsilon_{0}$, если $\varepsilon_{0} \gg k T$ ?
2.99. Распределение молекул по скоростям в пучке, выходящем из отверстия в сосуде, описывается функцией $F(v)=A v^{3} \mathrm{e}^{-m v^{2} / 2 k T}$, где $T$ – температура газа внутри сосуда. Найти наиболее вероятные значения:
a) скорости молекул в пучке; сравнить полученную величину с наиболее вероятной скоростью молекул в самом сосуде;
б) кинетической энергии молекул в пучке.
2.100. Идеальный газ, состоящий из молекул массы $m$ с концентрацией $n$, имеет температуру $T$. Найти с помощью распределения Максвелла число молекул, падающих в единицу времени на единицу поверхности стенки под углами $\vartheta \vartheta \vartheta+d \vartheta$ к ее нормали.
2.101. Исходя из условий предыдущей задачи, найти число молекул, падающих в единицу времени на единицу поверхности стенки со скоростями в интервале $v, v+d v$.
2.102. Найти силу, действующую на частицу со стороны однородного поля, если концентрации этих частиц на двух уровнях, отстоящих друг от друга на расстоянии $\Delta h=3,0$ см (вдоль поля), отличаются в $\eta=2,0$ раза. Температура системы $T=280 \mathrm{~K}$.
2.103. При наблюдении в микроскоп взвешенных частиц гуммигута обнаружено, что среднее число их в слоях, расстояние между которыми $h=40$ мкм, отличается друг от друга в $\eta=2,0$ раза. Температура среды $T=290 \mathrm{~K}$. Диаметр частиц $d=0,40$ мкм и их плотность на $\Delta \rho=0,20 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$ больше плотности окружающей жидкости. Найти по этим данным число Авогадро.
2.104. Пусть $\eta_{0}$ – отношение концентрации молекул водорода к концентрации молекул азота вблизи поверхности Земли, а $\eta$ соответствующее отношение на высоте $h=3000$ м. Найти отношение $\eta / \eta_{0}$ при $T=280 \mathrm{~K}$, полагая, что температура и ускорение: свободного падения не зависят от высоты.
2.105. В длинном вертикальном сосуде находится газ, состоящий из двух сортов молекул с массами $m_{1}$ и $m_{2}$, причем $m_{2}>m_{1}$. Концентрации этих молекул у дна сосуда равны соответственно $n_{1}$ и $n_{2}$, причем $n_{2}>n_{1}$. Считая, что по всей высоте поддерживается одна и та же температура $T$ и ускорение свободного падения равно $g$, найти высоту $h$, на которой концентрации этих сортов молекул будут одинаковы.
2.106. В очень высоком вертикальном цилиндрическом сосуде находится углекислый газ при некоторой температуре $T$. Считая поле тяжести однородным, найти, как изменится давление газа на дно сосуда, если температуру газа увеличить в $\eta$ раз.
2.107. Газ находится в очень высоком цилиндрическом сосуде при температуре $T$. Считая поле тяжести однородным, найти среднее значение потенциальной энергии молекул газа. Как зависит эта величина от того, состоит ли газ из одного сорта молекул или из нескольких сортов?
2.108. Закрытую с обоих торцов горизонтальную трубку длины $l=100$ см перемещают с постоянным ускорением $w$, направленным вдоль ее оси. Внутри трубки находится аргон при температуре $T=330 \mathrm{~K}$. При каком значении $w$ концентрации аргона вблизи торцов трубки будут отличаться друг от друга на $\eta=1,0 \%$ ?
2.109. Найти массу моля коллоидных частиц, если при вращении центрифуги с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси концентрация этих частиц на расстоянии $r_{2}$ от оси вращения в $\eta$ раз больше, чем на расстоянии $r_{1}$ (в одной горизонтальной плоскости). Плотности частиц и растворителя равны соответственно $\rho$ и $\rho_{0}$.
2.110. Горизонтально расположенную трубку с закрытыми торцами вращают с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, проходящей через один из ее торцов. В трубке находится углекислый газ при температуре $T=300 \mathrm{~K}$. Длина трубки $l=100 \mathrm{cм}$. Найти значение $\omega$, при котором отношение концентраций молекул у противоположных торцов трубки $\eta=2,0$.
2.111. Потенциальная энергия молекул газа в некотором центральном поле зависит от расстояния $r$ до центра поля как $U(r)=$ $=a r^{2}$, где $a$ – положительная постоянная. Температура газа $T$, концентрация молекул в центре поля $n_{0}$. Найти:
a) число молекул, находящихся на расстояниях $r, r+d r$ от центра поля;
б) наиболее вероятное расстояние молекул от центра поля;
в) относительное число всех молекул, находящихся в слое $r$, $r+d r$
г) во сколько раз изменится концентрация молекул в центре поля при уменьшении температуры в $\eta$ раз.
2.112. Исходя из условий предыдущей задачи, найти:
a) число молекул с потенциальной энергией в интервале $U$, $U+d U$
б) наиболее вероятное значение потенциальной энергии молекулы; сравнить эту величину с потенциальной энергией молекулы на наиболее вероятном расстоянии ее от центра поля.