– Кривая относнтельной спектральной чувствительности глаза $V(\lambda)$ показана на рнс. 5.1.
Рис. 5.1.
– Сила света $I$ и освещенность $E$ :
\[
I=\frac{d \Phi}{d \Omega}, \quad E=\frac{d \Phi_{\text {raд }}}{d S} .
\]
– Освещенность, создаваемая точечным изотропным источником:
\[
E=\frac{I \cos \alpha}{r^{2}},
\]
где $\alpha$-угол между нормалью к поверхности и направлением на источник.
– Светимость $M$ и яркость $L$ :
\[
M=\frac{d \Phi_{\text {исп }}}{d S}, L=\frac{d \Phi}{d \Omega \Delta S \cos \vartheta} .
\]
Для ламбертовского источника $L=$ const и светнмость:
\[
M=\pi L .
\]
Связь между преломляющим углом $\theta$ призмы и углом $\alpha$ наименьшего отклонения:
\[
\sin \frac{\alpha+\theta}{2}=n \sin \frac{\theta}{2},
\]
где $n$-показатель преломления призмы.
Формула сферического зеркала:
\[
\frac{1}{s^{\prime}}+\frac{1}{s}=\frac{2}{R}
\]
где $R$-радиус кривизны зеркала.
Рис. 5.2.
Формулы центрированной оптической системы (рис. 5.2):
\[
\frac{n^{\prime}}{s^{\prime}}-\frac{n}{s}=\Phi, \quad \frac{f^{\prime}}{s^{\prime}}+\frac{f}{s}=1, \quad x x^{\prime}=f f^{\prime} .
\]
– Соотношения между фокусными расстояниями и оптической силой:
\[
f^{\prime}=\frac{n^{\prime}}{\Phi}, \quad f=-\frac{n}{\Phi}, \quad \frac{f^{\prime}}{f}=-\frac{n^{\prime}}{n} .
\]
Оптическая сила сферической преломляющей поверхности:
\[
\Phi=\frac{n^{\prime}-n}{R} .
\]
Оптическая сила тонкой линзы в среде с показателем преломления $n_{0}$ :
Рис. 5.3.
\[
\Phi=\left(n-n_{0}\right)\left(\frac{1}{R_{1}}-\frac{1}{R_{2}}\right),
\]
где $n$-показатель преломления линзы.
Оптическая сила толстой линзы толщины $d$ :
\[
\Phi=\Phi_{1}+\Phi_{2}-\frac{d}{n} \Phi_{1} \Phi_{2} .
\]
Эта формула справедлива и для системы из двух тонких лииз, между которыми находится среда с показателем преломления $n$.
Главные плоскости $H$ и $H^{\prime}$ отстоят от вершин $O$ и $O^{\prime}$ поверх ностей толстой линзы (рис. 5.3) на расстояниях:
\[
X=\frac{d}{n} \frac{\Phi_{2}}{\Phi}, \quad X^{\prime}=-\frac{d}{n} \frac{\Phi_{i}}{\Phi} .
\]
Инвариант Лагранжа – Гельмгольда:
\[
n y u=\text { const. }
\]
Увеличение оптического прибора:
\[
\Gamma=\frac{\operatorname{tg} \psi^{\prime}}{\operatorname{tg} \psi},
\]
где $\psi^{\prime}$ и $\psi$-угловые размеры предмета при наблюдении через прибор и без него (в случае лупы и микроскопа угол $\psi$ соответствует иаблюдению на расстоянни наилучшего зрения $l_{0}=25 \mathrm{cм}$ ).
5.1. Найти с помощью кривой относительной спектральной чувствительности глаза (см. рис. 5.1):
a) поток энергии, соответствующий световому потоку в 1,0 лм с длиной волны 0,51 и 0,64 мкм;
б) световой поток, приходящийся на интервал длин волн от 0,58 до 0,63 мкм, если соответствующий поток энергии $\Phi_{9}=4,5$ мВт, причем последний распределен равномерно по всем длинам волн этого интервала. Считать, что в данном спектральном интервале функция $V(\lambda)$ зависит линейно от длины волны.
5.2. Точечный изотропный источник испускает световой поток $\Phi=10$ лм с длиной волны $\lambda=0,59$ мкм. Найти амплитудные значения напряженностей электрического и магнитного полей этого светового нотока на расстоянии $r=1,0$ м от источника. Воспользоваться кривой, приведенной на рис. 5.1.
5.3. Найти среднюю освещенность облучаемой пасти непрозрачной сферы, если на нее падает:
a) параллельный световой поток, создающий в точке нормального падения освещенность $E_{0}$;
б) свет от точечного изотропного источника, находящегося на расстоянии $l=100$ см от центра сферы; радиус сферы $R=60 \mathrm{cм}$ и сила света $I=36$ кд.
5.4. Определить светимость поверхности, яркость которой зависит от направления по закону $L=L_{0} \cos \vartheta$, где $\vartheta-$ угол между направлением излучения и нормалью к поверхности.
5.5. Некоторая светящаяся поверхность подчиняется закону Ламберта. Ее яркость равна L. Найти:
a) световой поток, излучаемый элементом $\Delta S$ этой поверхности внутрь конуса, ось которого нормальна к данному элементу, если угол полураствора конуса равен $\vartheta$;
б) светимость такого источника.
5.6. Над центром круглого стола радиуса $R=1,0$ м подвешен светильник в виде плоского горизонтального диска площадью $S=100 \mathrm{~cm}^{2}$. Яркость светильника не зависит от направления и равна $L=1,6 \cdot 10^{4} \mathrm{кд} / \mathrm{m}^{2}$. На какой высоте от поверхности стола надо поместить светильник, чтобы освещенность периферийных точек стола была максимальной? Қакова будет эта освещенность?
5.7. На высоте $h=1,0$ м над центром круглого стола радиуса $R=1,0$ м подвешен точечный источник, сила света которого $I$ так
зависит от направления, что освещенность всех точек стола оказывается равномерной. Найти вид функции $I(\vartheta)$, где $\vartheta$ – угол между направлением излучения и вертикалью, а также световой поток, падающий на стол, если $I(0)=I_{0}=100$ кд.
5.8. Вертикальный луч проектора освещает центр потолка круглой комнаты радиуса $R=2,0$ м. При этом на потолке образуется зайчик площадью $S=100 \mathrm{~cm}^{2}$. Освещенность зайчика $E=1000$ лк. Коэффициент отражения потолка $\rho=0,80$. Найти наибольшую освещенность стены, создаваемую светом, отраженным от потолка. Считать, что отражение происходит по закону Ламберта.
5.9. Равномерно светящийся купол, имеющий вид полусферы, опирается на горизонтальную поверхность. Определить освещенность в центре этой поверхности, если яркость купола равна $L$ и не зависит от направления.
5.10. Ламбертовский источник имеет вид бесконечной плоскости. Его яркость равна $L$. Найти освещенность площадки, расположенной параллельно данному источнику.
5.11. Над столом находится светильник – плоский горизонтальный диск радиуса $R=25 \mathrm{~cm}$. Расстояние от него до поверхности стола $h=75 \mathrm{~cm}$. Освещенность стола под центром светильника $E_{0}=70$ лк. Найти светимость этого источника, считая его ламбертовским.
5.12. Светильник, имеющий вид равномерно светящейся сферы радиуса $R=6,0 \mathrm{~cm}$, находится на расстоянии $h=3,0$ м от пола. Яркость светильника $L=2,0 \cdot 10^{4} \mathrm{kд} / \mathrm{m}^{2}$ и не зависит от направления. Найти освещенность пола непосредственно под светильником.
5.13. Записать в векторном виде закон отражения светового луча от зеркала – через направляющие орты е и е’ падающего и отраженного лучей и орт $\mathbf{n}$ внешней нормали к поверхности зеркала.
5.14. Показать, что луч света, последовательно отразившийся от трех взаимно перпендикуляриых плоских зеркал, изменит свсе направление на прямо противоположное.
5.15. При каком значении угла падения $\vartheta_{1}$ луч, отраженный от поверхности воды, будет перпендикулярен к преломленному лучу?
5.16. Имеются две оптические среды с плоской границей раздела. Пусть $\vartheta_{1 \text { пр }}$ – предельный угол падения луча, а $\vartheta_{1}$ – угол падения, при котором преломленный луч перпендикулярен к отраженному (предполагается, что луч идет из оптически более плотной среды). Найти относительный показатель преломления этих сред, если $\sin \vartheta_{1 \text { пр }} / \sin \vartheta_{1}=\eta=1,28$.
5.17. Луч света падает на плоскопараллельную стеклянную пластину толщиной $d=6,0$ см. Угол падения $\vartheta=60^{\circ}$. Найти величину бокового смещения луча, прошедшего через эту пластину.
5.18. На краю бассейна стоит человек и наблюдает камень, лежащий на дне. Глубина бассейна равна $h$. На каком расстоянии от поверхности воды видно изображение камня, ссли луч зрения составляет с нормалью к поверхности воды угол $\boldsymbol{\vartheta}$ ?
5.19. Показать, что при преломлении в призме с малым преломляющим углом $\theta$ луч отклоняется на угол $\alpha \approx(n-1) \theta$ независимо от угла падения, если последний также мал.
5.20. Луч света проходит через призму с преломляющим углом $\theta$ и показателем преломления $n$. Пусть $\alpha$ – угол отклонения луча. Показать, что при симметричном ходе луча через призму:
a) угол $\alpha$ минимален;
б) связь между углами $\alpha$ и $\theta$ определяется формулой (5.1д).
5.21. Для некоторой стеклянной призмы угол наименьшего отклонения луча равен преломляющему углу призмы. Найти носледний.
5.22. Найти пределы, в которых может меняться угол отклонения луча при прохождении стеклянной призмы с преломляющим углом $\theta=60^{\circ}$.
5.23У Трехгранная призма с преломляющим углом $60^{\circ}$ дает угол наименьшего отклонения в воздухе $37^{\circ}$. Какой угол наименьшего отклонения даст эта призма в воде?
5.24. Луч света, содержащий две монохроматические составляющие, проходит через трехгранную призму с преломляющим углом $\theta=60^{\circ}$. Определить угол $\Delta \alpha$ между обеими составляющими луча после призмы, если показатели преломления для них равны 1,515 и 1,520 и призма ориентирована на угол наименьшего отклонения.
5.25. Вывести с помощью принципа Ферма законы отражения и преломления света на плоской границе раздела двух сред.
Рис. 5.4.
5.26. Найти построением:
a) ход луча после отражения в вогнутом и выпуклом сферических зеркалах (рис. 5.4, где $F$ – фокус, $O O^{\prime}$ – оптическая ось);
б) положение зеркала й его фокуса для случаев, показанных на рис. 5.5, где $P$ и $P^{\prime}$ – сопряженные точки.
Рис. 5.5.
5.27. Определить фокусное расстояние вогнутого зеркала, если:
a) при расстоянии между предметом и изображением $l=15 \mathrm{~cm}$ поперечне увеличение $\beta=-2,0$;
б) при одном положении предмета поперечное увеличение $\boldsymbol{\beta}_{1}=-0,50$, а при другом положении, смещенном относительно первого на расстояние $l=5,0 \mathrm{~cm}$, поперечное увеличение $\boldsymbol{\beta}_{2}=$ $=-0,25$.
5.28. Точечный источник, сила света которого $I_{0}=100$ кд, помещен на расстоянии $s=20,0$ см от вершины вогнутого зеркала с фокусным расстоянием $f=25,0$ см. Определить силу света в отраженном пучке, если коэффициент отражения зеркала $\rho=0,80$.
5.29. Вывести с помощью принципа Ферма формулу преломления параксиальных лучей на сферической поверхности радиуса $R$, разделяющей среды с показателями преломления $n$ и $n^{\prime}$.
5.30. Параллельный пучок света падает из вакуума на поверхность, которая ограничивает область с показателем преломления $n$ (рис. 5.6). Найти форму этой поверхности – уравнение $x(r)$, при которой пучок будет сфокусирован в точке $F$ на расстоянии $f$ от вершины $O$. Пучок какого максимального радиуса сечения может быть сфокусирован?
Рис. 5.6,
5.31. Точечный источник расположен на расстоянии $20 \mathrm{~cm}$ от передней поверхности стеклянной симметричной двояковыпуклой линзы. Толщина линзы равна 5,0 см, радиус кривизны поверхностей $5,0 \mathrm{~cm}$. На каком расстоянии от задней поверхности этой линзы образуется изображение источника?
5.32. Перед выпуклой поверхностью стеклянной выпукло-плоской линзы толщины $d=9,0$ см находится предмет. Изображение этого предмета образуется на плоской поверхности линзы, которая служит экраном. Определить:
a) поперечное увеличение, если радиус кривизны выпуклой поверхности линзы $R=2,5$ см;
б) освещенность изображения, если яркость предмета $L=$ $=7700 \mathrm{кд} / \mathrm{m}^{2}$ и диаметр входного отверсиия выпуклой поверхности линзы $D=5,0$ мм; потери света іренебрежимо малы.
5.33. Найти оптическую силу и фокусные расстояния:
a) тонкой стеклянной линзы в жидкости с показателем преломления $n_{0}=1,7$, если ее оптическая сила в воздухе $\Phi_{0}=-5,0$ дп;
б) тонкой симметричной двояковыпуклой стеклянной линзы, с одной стороны которой находится воздух, а с другой – вода, если оптическая сила этой линзы в воздухе $\Phi_{0}=+10$ дп.
5.34. Найти построением:
a) ход луча за собирающей и рассеивающей тонкими линзами (рис. 5.7, где $O O^{\prime}$ – оптическая ось, $F$ и $F^{\prime}$ – передний и задний фокусы);
б) положение тонкой линзы и ее фокусов, если известно положение оптической оси $O O^{\prime}$ и положение пары сопряженных точек $P P^{\prime}$ (см. рис. 5.5); среды по обе стороны линз одинаковы;
в) ход луча 2 за собирающей и рассеивающей тонкими линзами (рис. 5.8), если известно положение линзы и ее оптической оси $O O^{\prime}$ и ход луча 1 ; среды по обе стороны линз одинаковы.
Рис. 5.7.
Рис. 5.8.
5.35. Тонкая собирающая линза с фокусным расстоянием $f^{\prime}=$ $=25 \mathrm{cм}$ проецирует изображение предмета на экран, отстоящий от линзы на расстоянии $l=5,0$ м. Экран придвинули к линзе на $\Delta l=18$ см. На сколько следует переместить предмет, чтобы опять получить четкое изображение его на эране?
5.36. Источник света находится на расстоянии $l=90$ см от экрана. Тонкая собирающая линза, помещенная между источником света и экраном, дает четкое изображение источника при двух положениях. Определить фокусное расстояние линзы, если:
a) расстояние между обоими положениями линзы $\Delta l=30$ см;
б) поперечные размеры изображения при одном положенин линзы в $\eta=4,0$ раза больше, чем при другом.
5.37. Между предметом и экраном, положения которых неизменны, помещают тонкую собирающую линзу. Перемещением линзы находят два положения, при которых на экране образуется четкое изображение предмета. Найти поперечный размер предмета, если при одном положении линзы размер изображения $h^{\prime}=2,0$ мм, а при другом $h^{\prime \prime}=4,5$ мм.
5.38. Тонкая собирающая линза с относительным отверстием $D: f=1: 3,5$ ( $D$ – диаметр линзы, $f$ – ее фокусное расстояние) дает изображение достаточно удаленного предмета на фотопластинке. Яркость предмета $L=260 \mathrm{kд} / \mathrm{m}^{2}$. Потери света в линзе составляют $\alpha=0,10$. Найти освещенность изображения.
5.39. Қак зависит от диаметра $D$ тонкой собирающей линзы яркость действительного изображения, если его рассматривать:
a) непосредственно;
б) на .белом экране, рассеивающем по закону Ламберта?
5.40. Имеются две тонкие симметричные линзы: одна собирающая с показателем преломления $n_{1}=1,70$, другая рассеивающая с $n_{2}=1,51$. Обе линзы имеют одинаковый радиус кривизны поверхностєй $R=10$ см. Линзы сложили вплотную и погрузили в воду. Каково фокусное расстояние этой системы в воде?
5.41. Определить фокусное расстояние вогнутого сферического зеркала, которое представляєт собой тонкую симметричную двояковыпуклую стеклянную линзу с посеребренной одной поверхностью. Радиус кривизны поверхности линзы $R=40 \mathrm{~cm}$.
5.42. На рис. 5.9 показана центрированная система, состоящая из трех тонких линз. Система находится в воздухе. Определить:
a) положение точки схождеРис. 5.9. ния параллельного пучка, падающего слева, после прохождения через систему;
б) расстояние от первой линзы до точки, находящейся на оси слева от системы, при котором эта точка и ее изображение будут расположены симметрично относительно системы.
5.43. Галилеева труба 10 -кратного увеличения при установке на бесконечность имеет длину 45 см. Определить:
a) фокусные расстояния объектива и окуляра трубы;
б) на какое расстояние надо передвинуть окуляр трубы, чтобы ясно видеть предметы на расстоянии 50 м.
5.44. Найти увеличение зрительной трубы кеплеровского типа, установленной на бесконечность, если $D$ – диаметр оправы ее объектива, а $d$ – диаметр изображения этой оправы, образуемого окуляром трубы.
5.45. При прохождении светового потока через зрительную трубу его интенсивность увеличивается в $\eta=4,0 \cdot 10^{4}$ раз. Найти угловой размер удаленного предмета, если при наблюдении в эту трубу угловой размер его изображения $\psi^{\prime}=2,0^{\circ}$.
5.46. Зрительную трубу кеплеровского типа с увеличением $\Gamma=15$ погрузили в воду, которая заполнила и ее внутреннюю часть. Чтобы система при тех же размерах стала опять телескопической, объектив заменили другим. Каково стало после этого увеличение трубы в воде? Показатель преломления стекла окуляра $n=1,50$.
5.47. При каком увеличении $\Gamma$ зрительной трубы с диаметром объектива $D=6,0$ см освещенность изображения объекта на сетчатке глаза будет не меньше, чем в отсутствие трубы? Диаметр зрачка глаза считать равным $d_{0}=3,0$ мм. Потерями света в трубе пренебречь.
5.48. Оптические силы объектива и окуляра микроскопа равны соответственно 100 и 20 дп. Увеличение микроскопа равно 50. Қаково будет увеличение этого микроскопа, если расстояние между объективом и окуляром увеличить на 2,0 см?
5.49. Микроскоп имеєт числовую апертуру $\sin \alpha=0,12$, где $\alpha$ – угол полураствора конуса лучей, падающих на оправу объектива. Полагая диаметр зрачка глаза $d_{0}=4,0$ мм, определить увеличение микроскопа, при котором:
a) диаметр светового пучка, выходящего из микроскопа, равен диаметру зрачка глаза;
б) освещенность изображения на сетчатке глаза не будет зависеть от увеличения (рассмотреть случай, когда световой пучок, проходящий через систему «микроскоп – глаз», ограничен оправой объектива).
5.50. Найти положение главных плоскостей, фокусов и узловых точек двояковыпуклой тонкой симметричной стеклянной линзы с радиусом кривизны поверхностей $R=7,50 \mathrm{cм}$, если с одной стороны ее находится воздух, а с другой – вода.
5.51. Найти с помощью построения положение фокусов и главных плоскостей центрированных оптических систем, показанных на рис. 5.10 :
a) телеобъектив – система из собирающей и рассеивающей тонких линз $\left(f_{1}=1,5 a, f_{2}=-1,5 a\right)$;
Рис. 5.10.
б) система из двух собирающих тонких линз $\left(f_{1}=1,5 a, f_{2}=\right.$ $=0,5 a)$;
в) толстая выпукло-вогнутая линза ( $d=4 \mathrm{~cm}, n=1,5, \Phi_{1}=$ $=+50$ дп, $\Phi_{2}=-50$ дп).
5.52. Оптическая система находится в воздухе. Пусть $O O^{\prime}$ ее оптическая ось, $F$ и $F^{\prime}$ – передний и задний фокусы, $H$ и $H^{\prime}$ –
Pис. 5.11.
передняя и задняя главные плоскости, $P$ и $P^{\prime}$ – сопряженные точки. Найти построением:
a) положение $F^{\prime}$ и $H^{\prime}$ (рис. 5.11,a);
б) положение точки $S^{\prime}$, сопряженной с точкой $S$ (рис. 5.11, б);
в) положение $F, F^{\prime}$ и $H^{\prime}$ (рис. $5.11, \varepsilon$, где показан ход луча до и после прохождения системы).
5.53. Пусть $F$ и $F^{\prime}$ – передний и задний фокусы оптической системы, $H$ и $H^{\prime}$ – ее передняя и задняя главные точки. Найти построением положение изображения $S^{\prime}$ точки $S$ для следующих относительных расположений точек $S, F, F^{\prime}, H$ и $H^{\prime}$ :
а) $F S H H^{\prime} F^{\prime}$; б) $H S F^{\prime} F H^{\prime}$; в) $H^{\prime} S F^{\prime} F H$; г) $F^{\prime} H^{\prime} S H F$.
5.54. Телеобъектив состоит из двух тонких линз – передней собирающей и задней рассеивающей с оптическими силами $\Phi_{1}=$ $=+10$ дп и $\Phi_{2}=-10$ дп. Найти:
a) фокусное расстояние и положение главных плоскостей этой системы, если расстояние между линзами $d=4,0 \mathrm{cм}$;
б) расстояние $d$ между линзами, при котором отношение фокусного расстояния $f$ системы к расстоянию $l$ между собирающей линзой и задним главным фокусом будет максимальным. Чему равно это отношение?
5.55. Рассчитать положение главных плоскостей и фокусов толстой выпукло-вогнутой стеклянной линзы, если радиус кривизны выпуклой поверхности $R_{1}=10,0 \mathrm{cм}$, вогнутой $R_{2}=5,0$ см и толщина линзы $d=3,0$ см.
5.56. Центрированная оптическая система состоит из двух тонких линз с фокусными расстояниями $f_{1}$ и $f_{2}$, причем расстояние между линзами равно $d$. Данную систему требуется заменить одной тонкой линзой, которая при любом положении объекта давала бы такое же поперечное увеличение, как и предыдущая система. Каким должно быть фокусное расстояние этой линзы и ее положение отно-
– сительно системы из двух линз?
5.57. Система состоит из собирающей тонкой симметричной стеклянной линзы с радиусом кривизны поверхностей $R=38$ см и плоского зеркала, расположенного перпендикулярно к оптической оси линзы. Расстояние между линзой и зеркалом $l=12 \mathrm{cм}$. Какова будет оптическая сила этой системы, если пространство между линзой и зеркалом заполнить водой?
5.58. При какой толщине выпукло-вогнутая толстая стеклянная линза в воздухе будет:
a) телескопической, если радиус кривизны ее выпуклой поверхности больше, чем радиус кривизны вогнутой поверхности, на $\Delta R=1,5$ см?
б) иметь оптическую силу, равную – 1,0 дп, если радиусы кривизны ее выпуклой и вогнутой поверхностей равны соответственно 10,0 и 7,5 см?
5.59. Найти положение главных плоскостей, фокусное расстояние и знак оптической силы выпукло-вогнутой толстой стеклянной линзы, у которой:
a) толщина равна $d$, а радиусы кривизны поверхностей одинаковы и равны $R$;
б) преломляющие поверхности концентрические с радиусами кривизны $R_{1}$ и $R_{2}\left(R_{2}>R_{1}\right)$.
5.60. Телескопическая система образована из двух стеклянных шаров, радиусы которых $R_{1}=5,0$ см и $R_{2}=1,0$ см. Қаковы расстояние между центрами этих шаров и увеличение системы, если объективом является больший шар?
5.61. Две одинаковые симметричные двояковыпуклые толстые линзы сложены вплотную. Толщина каждой линзы равна радиусу кривизны ее поверхностей, $d=R=3,0$ см. Найти оптическую силу этой системы в воздухе.
5.62. При распространении света в изотропной среде с медленно изменяющимся от точки к точке показателем преломления $n$ радиус кривизны $\rho$ луча определяется формулой
\[
\frac{1}{\rho}=\frac{\partial}{\partial \bar{N}}(\ln n),
\]
где производная берется по направлению главной нормали к лучу. Получить эту формулу, имея в виду, что в такой среде справедлив закои преломления $n \sin \vartheta=$ const, где $\vartheta-$ угол между лучом и направлением grad $n$ в данной точке.
5.63. Найти радиус кривизны светового луча, распространяющегося в горизонтальном направлении вблизи поверхности Земли, где градиент показателя преломления воздуха равен около $3 \cdot 10^{-8} \mathrm{~m}^{-1}$. При каком значении этого градиента луч света распространялся бы по окружности вокруг Земли?
