– Ширина интерференционной полосы:
\[
\Delta x=\frac{l}{d} \lambda,
\]
где $l$-расстояние от экрана до источников, $d$-расстояние между источниками.
– Временна́я и пространственная когерентности. Соответственно длина и раднус когерентности:
\[
l_{\text {ког }} \approx \frac{\lambda^{2}}{\Delta \lambda}, \quad \rho_{\text {ког }} \approx \frac{\lambda}{\psi},
\]
где $\psi$-угловой размер источника.
Условие максимумов при интерференции света, отраженного от тонкой пластинки толщины $b$ :
\[
2 b \sqrt{n^{2}-\sin ^{2} \theta_{1}}=(k+1 / 2) \lambda,
\]
где $k$-целое число.
Қольца Ньютона при отражении света от поверхностей воздушной прослойки, которая образована между стеклянной пластинкой и соприкасающейся с ней выпуклой поверхностью линзы радиуса $R$. Радиусы колец:
\[
r=\sqrt{\lambda R k / 2}
\]
причем кольцд светлые, если $k=1,3,5, \ldots$, и темные, если $k=2,4,6, \ldots$ Значению $k=0$ соответствует середина центрального темного пятна.
5.64. Показать, что при сложении двух гармонических колебаний средняя по времени энергия результирующего колебания равна сумме энергий каждого из них, если оба колебания:
a) имеют одинаковое направление и некогерентны, причем все значения их разности фаз равновероятны;
б) взаимно перпендикулярны, имеют одну и ту же частоту и произвольную разность фаз.
5.65. Найти графически амплитуду колебания, которое возникает в результате сложения следующих трех колебаний одного направления:
\[
\xi_{1}=a \cos \omega t, \quad \xi_{2}=2 a \sin \omega t, \quad \xi_{3}=1,5 a \cos (\omega t+\pi / 3) .
\]
5.66. Некоторое колебание возникает в результате сложения когерентных колебаний одного направления, имеющих следующий вид: $\xi_{k}=a \cos [\omega t+(k-1) \varphi]$, где $k$ – номер колебания $(k=1,2, \ldots, N), \varphi$ – разность фаз между $k$-м и ( $k-1$ )-м колебаниями. Найти амплитуду результирующего колебания.
5.67. Система (рис. 5.12) состоит из двух точече ных когерентных излучателей 1 и 2 , которые расположены в некоторой плоскости так, что их дипольные моменты перпендикулярны к этой плосРис. 5.12. кости. Расстояние между излучателями $d$, длина волны излучения $\lambda$. Имея в виду, что колебания излучателя 2 отстают по фазе на $\varphi(\varphi<\pi)$ от колебаний излучателя 1 , найти:
a) углы $\vartheta$, в которых интенсивность излучения максимальна;
б) условия, при которых в направлении $\vartheta=\pi$ интенсивность . излучения будет максимальна, а в противоположном направлении минимальна.
5.68. Неподвижная излучающая система состоит из линейной цепочки параллельных вибраторов, отстоящих друг от друга на расстояние $d$, причем фаза колебаний вибраторов линейно меняется вдоль цепочки. Найти зависимость от времени разности фаз $\Delta \varphi$ между соседними вибраторами, при которой главный максимум излучения системы будет совершать круговой «обзор» местности с постоянной угловой скоростью $\omega$.
Рис. 5.13.
5.69. В опыте Ллойда (рис. 5.13) световая волна, исходящая непосредственно из источника $S$ (узкой щели), интерферирует с волной, отраженной от зеркала 3 . В результате на экране 9 образуется система интерференционных полос. Расстояние от источника до экрана $l=100 \mathrm{cм}$. При некотором положении источника ширина интерференционной полосы на экране $\Delta x=0,25$ мм, а после того как источник отодвинули от плоскости зеркала на $\Delta h=0,60$ мм, ширина полос уменьшилась в $\eta=1,5$ раза. Найти длину волны света.
5.70. Две когерентные плоские световые волны, угол между направлениями распространения которых $\psi \ll 1$, падают почти нормально на экран. Амплитуды волн одинаковы. Показать, что расстояние между соседними максимумами на экране $\Delta x=\lambda / \psi$, где $\lambda$ – длина волны.
5.71. На рис. 5.14 показана интерференционная схема с бизеркалами Френеля. Угол между зеркалами $\alpha=12^{\prime}$, расстояния от
Рис. 5.14.
линии пересечения зеркал до узкой щели $S$ и экрана $Э$ равны соответственно $r=10,0$ см и $b=130$ см. Длина волны света $\lambda=$ $=0,55$ мкм. Определить:
a) ширину интерференционной полосы на экране и число возможных максимумов;
б) сдвиг интерференционной картины на экране при смещении щели на $\delta l=1,0$ мм по дуге радиуса $r$ с центром в точке $O$;
в) при какой максимальной ширине щели $\delta_{\text {макс }}$ интерференционные полосы на экране будут наблюдаться еще достаточно отчетливо?
5.72. Плоская световая волна падает на бизеркала Френеля, угол между которыми $\alpha=2,0^{\prime}$. Определить длину волны света, если ширина интерференционной полосы на экране $\Delta x=0,55$ мм.
5.73. Линзу диаметром 5,0 см и с фокусным расстоянием $f=$ $=25,0$ см разрезали по диаметру на две одинаковые половины, причем удаленным оказался слой толщины $a=1,00$ мм. После этого обе половины сдвинули до соприкосновения и в фокальной плоскости полученной таким образом билинзы поместили узкую щель, испускающую монохроматический свет с длиной волны $\lambda=0,60$ мкм. За билинзой расположили экран на расстоянии $b=50$ см от нее. Определить:
a) ширину интерференционной полосы на экране и число возможных максимумов;
б) максимальную ширину щели $\delta_{\text {макс }}$, при которой интерференционные полосы на экране будут наблюдаться еще достаточно отчетливо.
(9) $V$ (5.74 Расстояния от бипризмы Френеля до узкой щели и экрана равны соответственно $a=25$ см и $b=100$ см. Бипризма стеклянная с преломляющим углом $\theta=20^{\prime}$. Найти длину волны света, если ширина интерференционной полосы на экране $\Delta x=0,55$ мм.
5.75. Плоская световая волна с $\lambda=$ $=0,70$ мкм падает нормально на основание бипризмы, сделанной из стекла ( $n=1,520$ ) с преломляющим углом $\theta=5,0^{\circ}$. За бипризмой (рис. 5.15) находится плоскопараллельная стеклянная пластинка, и пространство между ними заполнено бензолом ( $n^{\prime}=$ $=1,500$ ). Найти ширину интерференционной полосы на экране $Э$, расположенном за этой системой.
$\vee^{\prime}$ 5.76. Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, отстоящими друг от друга на расстояние $d=2,5$ мм. На экране, расположенном за диафрагмой на $l=100 \mathrm{~cm}$, образуется система интерференционных полос. На какое расстояние и в какую сторону сместятся эти полосы, если одну из щелей перекрыть стеклянной пластинкой толщины $h=10$ мкм?
$\checkmark$ 5.77. На рис. 5.16 показана схема интерферометра, служащего для измерения показателей преломления прозрачных веществ.
Рис. 5.16.
Здесь $S$ – узкая щель, освещаемая монохроматическим светом $\lambda=589$ нм, 1 и 2 – две одинаковые трубки с воздухом, длина каждой из которых $l=10,0$ см, Д – диафрагма с двумя щелями. Когда воздух в трубке 1 заменили аммиаком, ‘то интерференционная картина на экране $\exists$ сместилась вверх на $N=17$ полос. Показатель преломления воздуха $n=1,000277$. Определить показатель преломления аммиака.
5.78. Электромагнитная волна падает нормально на границу раздела двух изотропных диэлектриков с показателями преломления $n_{1}$ и $n_{2}$. Воспользовавшись условием непрерывности тангенциальной составляющей вектора $\mathbf{E}$ на границе раздела и законом сохранения энергии, показать, что на границе раздела вектор $\mathbf{E}$ :
a) проходящей волны не испытывает скачка фазы;
б) отраженной волны испытывает скачок фазы на $\pi$, если отражение происходит от оптически более плотной среды.
5.79. На тонкую пленку ( $n=1,33$ ) падает параллельный пучок белого света. Угол падения $\vartheta_{1}=52^{\circ}$. При какой толщине пленки зеркально отраженный свет будет наиболее сильно окрашен в желтый цвет $(\lambda=0,60$ мкм)?
5.80. Найти минимальную толщину пленки с показателем преломления 1,33 , при которой свет с длиной волны 0,64 мкм испытывает максимальное отражение, а свет с длиной волны 0,40 мкм не отражается совсем. Угол падения света равен $30^{\circ}$.
5.81. Для уменьшения потерь света из-за отражения от поверхности стекла последнее покрывают тонким слоем вещества с показателем преломления $n^{\prime}=\sqrt{n}$, где $n$ – показатель преломления стекла. В этом случае амплитуды световых колебаний, отраженных от обеих поверхностей такого слоя, будут одинаковыми. При какой толщине этого слоя отражательная способность стекла в направлении нормали будет равна нулю для света с длиной волны $\lambda$.
5.82. Рассеянный монохроматический свет с $\lambda=0,60$ мкм падает на tонкую пленку вещества с показателем преломления $n=1,5$. Определить толщину пленки, если угловое расстояние между соседними максимумами, наблюдаемыми в отраженном свете под углами с нормалью, близкими к $\vartheta=45^{\circ}$, равно $\delta \vartheta=3,0^{\circ}$.
5.83. Монохроматический свет проходит через отверстие в экране $Э$ (рис. 5.17) и, отразившись от тонкой плоско-параллельной стеклянной пластинки $\Pi$, образует на экране систеРис. 5.17. му интерференционных полос равного наклона. Толщина пластинки $d$, расстояние между ней и экраном $l$, радиусы $i$-го и $k$-го темных колец $r_{i}$ и $r_{k}$. Учитывая, что $r_{i, k} \ll l$, найти длину волны света.
5.84. Плоская монох роматическая световая волна длины $\lambda$ падает на поверхность стеклянного клина, угол между гранями которого $\alpha \ll 1$. Плоскость падения перпендикулярна к ребру клина, угол падения $\vartheta_{1}$. Найти расстояние между соседними максимумами интерференционных полос на экране, расположенном перпендикулярно к отраженному свету,
5.85 . Свет с длиной волны $\lambda=0,55$ мкм от удаленного точечного источника падает нормально на поверхность стеклянного клина. В отраженном свете наблюдают систему интерференционных полос, расстояние между соседними максимумами которых на поверхности клина $\Delta x=0,21$ мм. Найти:
a) угол между гранями клина;
б) степень монохроматичности света $(\Delta \lambda / \lambda)$, если исчезновение интерференционных полос наблюдается на расстоянии $l \approx 1,5$ см от вершины клина.
5.86. Плоско-выпуклая стеклянная линза выпуклой поверхностью соприкасается со стеклянной пластинкой. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы $R$, длина волны света $\lambda$. Найтиширину $\Delta r$ кольца Ньютона в зависимости от его радиуса $r$ в области, где $\Delta r \ll r$.
5.87. Плоско-выпуклая стеклянная линза с радиусом кривизны $R=40$ см соприкасается выпуклой поверхностью со стеклянной пластинкой. При этом в отраженном свете радиус некоторого кольца $r=2,5$ мм. Наблюдая за данным кольцом, линзу ссторожно отодвинули от пластинки на $\Delta h=5,0$ мкм. Каким стал радиус этого кольца?
5.88. На вершине сферической поверхности плоско-выпуклой стеклянной линзы имеется сошлифованный плоский участок радиуса $r_{0}=3,0$ мм, которым она соприкасается со стеклянной пластинкой. Радиус кривизны выпуклой поверхности линзы $R=150$ см. Найти радиус шестого светлого кольца при наблюдении в отраженном свете с длиной волны $\lambda=655$ нм.
5.89. Плоско-выпуклая стеклянная линза с радиусом кривизны сферической поверхности $R=12,5 \mathrm{~cm}$ прижата к стеклянной пластинке. Диаметры десятого и пятнадиатого темных колец Ньютона в отраженном свете равны $d_{1}=1,00$ мм и $d_{2}=1,50$ мм. Oпределить длину волны света.
V 5.90. Две плоско-выпуклые тонкие стеклянные линзы соприкасаются своими сферическими поверхностями. Найти оптическую силу такой системы, если в отраженном свете с $\lambda=0,60$ мкм диаметр пятого светлого колыца $d=1,50$ мм.
5.91. Две соприкасающиеся тонкие симметричные стеклянные линзы – одна двояковыпуклая, другая двояковогнутая – образуют систему с оптической силой $\Phi=0,50$ дп. В свете с $\lambda=0,61$ мкм, отраженном от этой системы, наблюдают кольца Ньютона. Определить:
a) радиус десятого темного кольца;
б) как изменится радиус этого кольца, если пространство между линзами заполнить водой?
5.92. Сферическая поверхность плоско-выпуклой линзы соприкасается со стеклянной пластинкой. Пространство между линзой и пластинкой заполнено сероуглеродом. Показатели преломления линзы, сероуглерода и пластинки равны соответственно $n_{1}=1,50$, $n_{2}=1,63$ и $n_{3}=1,70$. Радиус кривизны сферической поверхности линзы $R=100$ см. Определить радиус пятого темного кольца Ньютона в отраженном свете с $\lambda=0,50$ мкм.
5.93. В двухлучевом интерферометре используется оранжевая линия ртути, состоящая из двух компонент с длинами волн $\lambda_{1}=$ $=576,97$ нм и $\lambda_{2}=579,03$ нм. При каком наименьшем порядке интерференции четкость интерференционной картины будет наихудшей?
5.94. В интерферометре Майкельсона использовалась желтая линия натрия, состоящая из двух компонент с длинами волн $\lambda_{1}=$
– $=589,0$ нм и $\lambda_{2}=589,6$ нм. При поступательном перемещении одного из зеркал интерференционная картина периодически исчезала (почему?). Найти перемещение зеркала между двумя последовательными появлениями наиболее четкой интерференционной картины.
5.95. При освещении эталона Фабри – Перо расходящимся монохроматическим светом с длиной волны $\lambda$ в фокальной плоскости линзы возникает интерференционная картина – система концентрических колец (рис. 5.18). Толщина эталона равна $d$. Определить, как зависит от порядка интерференции:
a) расположение колец;
б) јгловая ширина полос интерференции.
Рис. 5.18.
5.96. Найти для эталона Фабри – Перо, толщина которого $d=2,5 \mathrm{~cm}:$
a) максимальный порядок интерференции света с длиной волны $\lambda=0,50$ мкм;
б) дисперсионную область $\Delta \lambda$, т. е. спектральный интерал длин волн, для которого еще нет перекрытия с другими порядками интерференции, если наблюдение ведется вблизи $\lambda=0,50$ мкм.
