– Радиус внешней границы $k$-й зоны Френеля:
\[
r_{k}=\sqrt{k \lambda \frac{a b}{a+b}}, \quad k=1,2,3, \ldots
\]
– Спираль Корню (рис. 5.19). Числа на этой спирали-значения параметра $v$. Для плоской волны $v=x \sqrt{2 / b \lambda}$, где $x$ и $b$-расстояния, характеризующие положение элемента $d S$ волновой поверхности относительно точки наблюдения $P$, как показано в левом верхием углу рисунка.
– Дифракция Фраунгофера от щели, свет падает нормально. Условие минимумов интенсивности:
\[
b \sin \vartheta= \pm k \lambda, \quad k=1,2,3, \ldots,
\]
где $b$-ширина щели, $\boldsymbol{\vartheta}$ – угол дифракции.
Рис. 5.19.
– Дифракционная решетка, свет падает нормально. Условие главных фраунгоферовых максимумов:
\[
d \sin \vartheta= \pm k \lambda, \quad k=0,1,2, \ldots,
\]
условие добавочных минимумов:
\[
d \sin \theta= \pm \frac{k^{\prime}}{N} \lambda,
\]
пде $k^{\prime}=1,2, \ldots$, кроме $0, N, 2 N, \ldots$
– Угловая дисперсия дифракционной решетки:
\[
D=\frac{\delta \vartheta}{\delta \lambda}=\frac{k}{d \cos \vartheta} .
\]
– Разрешающая способность дифракционной решетки:
\[
R=\frac{\lambda}{\delta \lambda}=k N,
\]
где $N$-число штрихов решетки.
Разрешающая сила объектива
\[
R=\frac{1}{\delta \psi}=\frac{D}{1,22 \lambda},
\]
где $\delta \psi$ – наименьшее угловое расстояние, разрешаемое объективом, $D$-диаметр последнего.
– Формула Брэгга-Вульфа. Условие дифракционных максимумов:
\[
2 d \sin \alpha= \pm k \lambda \text {, }
\]
где $d$-межплоскостное расстояние, $\alpha$-угол скольжения, $k=1,2,3, \ldots$
5.97. Плоская световая волна падает нормально на диафрагму с круглым отверстием, которое открывает первые $N$ зон Френеля для точки $P$ на экране, отстоящем от диафрагмы на расстояние $b$. Длина волны света равна $\lambda$. Найти интенсивность света $I_{0}$ перед диафрагмой, если известно распределение интенсивности света на экране $I(r)$, где $r$ – расстояние до точки $P$.
5.98. Точечный источник света с длиной волны $\lambda=0,50$ мкм расположен на расстоянии $a=100$ см перед диафрагмой с круглым отверстием радиуса $r=1,0$ мм. Найти расстояние $b$ от диафрагмы до точки наблюдения, для которой число зон Френеля в отверстии составляет $k=3$.
5.99. Между точечным источником света и экраном поместили диафрагму с круглым отверстием, радиус которого $r$ можно менять в процессе опыта. Расстояния от диафрагмы до источника и экрана равны $a=100$ см и $b=125$ см. Oпределить длину волны света, если максимум освещенности в центре дифракционной картины на экране наблюдается при $r_{1}=1,00$ мм и следующий максимум при $r_{2}=1,29 \mathrm{mM}$.
5.100. Плоская монохроматическая световая волна с интенсивностью $I_{0}$ падает нормально на непрозрачный экран с круглым отверстием. Какова интенсивность света $I$ за экраном в точке, для которой отверстие:
a) равно первой зоне Френеля; внутренней половине первой зоны;
б) сделали равным первой зоне Френеля и затем закрыли его половину (по диаметру)?
5.101. Монохроматическая плоская световая волна с интенсивностью $I_{0}$ падает нормально на непрозрачный диск, закрывающий для точки наблюдения $P$ первую зону Френеля. Какова стала интенсивность света $I$ в точке $P$ после того, как у диска удалили:
a) половину (по диаметру);
б) половину внешней половины первой зоны Френеля (по диаметру)?
5.102. Плоская монохроматическая световая волна с интенсивностью $I_{0}$ падает нормально на поверхности непрозрачных экранов, показанных на рис. 5.20. Найти интенсивность света $I$ в точке $P$ :
a) расположенной за вершиной угла экранов $1-3$ и за краем полуплоскости 4 ;
б) для которой закругленный край экранов $5-8$ совпадает с границей первой зоны Френеля.
Обобщить полученные результаты для экранов $1-4$ одной формулой; то же – для экранов $5-8$.
Рис. 5.20.
5.103. Плоская световая волна с $\lambda=0,60$ мкм падает нормально на достаточно большую стеклянную пластинку, на противоположной стороне которой сделана круглая выемка (рис. 5.21). Для точки наблюдения $P$ она представляет собой первые полторы зоны Френеля. Найти глубину $h$ выемки, при которой интенсивность света в точке $P$ будет:
a) максимальной;
б) минимальной;
в) равной интенсивности падающего света.
5.104. Плоская световая волна длины $\lambda$ и интенсивности $I_{0}$ падает нормально на больРис. 5.21. шую стеклянную пластинку, противоположная сторона которой представляет собой непрозрачный экран с круглым отверстием, равным первой зоне Френеля для точки наблюдения $P$. В середине отверстия сделана круглая выемка, равная половине зоны Френеля. При какой глубине $h$ этой выемки интенсивность света в точке $P$ будет максимальной? Чему она равна?
5.105. Плоская световая волна с $\lambda=0,57$ мкм падает нормально на поверхность стеклянного ( $n=1,60$ ) диска, который закрывает полторы зоны Френеля для точки наблюдения $P$. При какой минимальной толщине этого диска интенсивность света в точке $P$ будет максимальной? Учесть интерференцию света при прохождении диска.
5.106. На пути плоской световой волны с $\lambda=0,54$ мкм поставили тонкую собирающую линзу с фокусным расстоянием $f=$ $=50 \mathrm{~cm}$, непосредствено за ней – диафрагму с круглым отверстием и на расстоянии $b=75$ см от диафрагмы – экран. При каких радиусах отверстия щентр дифракционной картины на экране имеєт максимальную освещеннссть?
5.107. Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на круглое отверстие. На расстоянии $b=9,0$ м от него находится экран, где наблюдают некоторую дифракционную картину. Диаметр отверстия уменьшили в $\eta=3,0$ раза. Найти новое расстояние $b^{\prime}$, на котором надо поместить экран, чтобы получить на нем дифракционную картину, подобную той, что в предыдущем случае, но уменьшенную в $\eta$ раз.
5.108. Между источником света с $\lambda=0,55$ мкм и фотопластинкой поместили непрозрачный шарик диаметра $D=40$ мм. Расстояние между источником и шариком $a=12 \mathrm{~m}$, а между шариком и фотопластинкой $b=18 \mathrm{м}$. Найтіг:
a) размер изображения $y^{\prime}$ на пластинке, если поперечный размер источника $y=6,0 \mathrm{mм}$;
б) минимальную выссту неровностей, хаотически покрывающих поверхность шарика, при которой последний уже будет загораживать свет.
Примеч а н и е. Расчет и опыт показывают, что это происходит тогда, когда высота неровностей сравнима с шириной зоны Френеля, по которой проходит край непрозрачного экрана.
5.109. Точечный источник монохроматического света расположен перед зонной пластинкой на расстоянии $a=1,5$ м от нєе. Изсбражение источника образуется на расстоянии $b=1,0$ м от пластинки. Найти фокусное расстояние зонной пластинки. 5.110. Плоская световая волна с $\lambda=$ $=0,60$ мкм и интенсивностью $I_{0}$ падает нормально на большую стеклянную пластинку, профиль которой показан на рис. 5.22. При какой высоте $h$ уступа интенсивность света в точках, расположенных под ним, будет:
а) минимальна;
б) вдвое меньше $I_{0}$ (потерями на отраже-
Pис. 5.22.
ния пренебречь).
5.111. Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на непрозрачную полуплоскость. На расстоянии $b=100 \mathrm{~cm}$ за ней находится экран. Найти с помощью спирали Корню (рис. 5.19):
a) отношение интенсивностей первого максимума и ссседнего ‘с ним минимума;
б) длину волны света, если расстояние между двумя первыми максимумами $\Delta x=0,63$ мм.
5.112. Плоская световая волна длины 0,60 мкм падает нормально на непрозрачную длинную полоску ширины 0,70 мм. За ней на расстоянии $100 \mathrm{~cm}$ находится экран. Найти с помощью рис. 5.19 стношение интенсивностей света в середине дифракционной картины и на краях геометрической тени.
5.113. Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на длинную прямоугольную щель, за которой на рассхоянии $b=60 \mathrm{~cm}$ находится экран. Сначала ширину щели установили такой, что в середине дифракционной картины на экране наблюдался наиболее глубокий минимум. Раздвинув после этого щель на $\Delta h=0,70$ мм, получили в центре картины следующий минимум. Найти длину волны света.
5.114. Плоская световая волна с $\lambda=0,65$ мкм падает нормально на большую стеклянную пластинку, на противоположной стороне которой сделана длинная прямоугольная выемка ширины 0,60 мм. Найти с помощью рис. 5.19 глубину выемки $h$, при которой в середине дифракционной картины на экране, отстоящем на 77 см от пластинки, будет максимум освещенности.
5.115. Плоская световая волна с $\lambda=0,65$ мкм падает нормально на большую стеклянную пластинку, на противоположной стороне которой имеется уступ и непрозрачная полоска ширины $a=0,30$ мм (рис. 5.23). На расстоянии $b=110 \mathrm{~cm}$ от пластинки находится экран. Высота уступа $h$ подобрана такой, что в точке 2 на экране интенсивность света оказывается максимально возможной. Найти с помощью рис. 5.19 отношение интенсивностей в точках 1 и 2.
5.116. Плоская монохроматическая световая волна интенсивности $I_{0}$ падает нормально на непрозрачный экран, в котором Рис. 5.23. прорезана длинная щель с полукруглым вырезом на одной из сторон (рис. 5.24). Край выреза совпадает с границей первой зоны Френеля для точки наблюдения $P$. Ширина щели составляет 0,90 радиуса выреза. Найти с помощью рис. 5.19 интенсивность света в точке $P$.
Рис. 5.24.
Рис. 5.25.
5.117. Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на непрозрачньй экран с длинной щелью, форма которой показана на рис. 5.25. Найти с помощью рис. 5.19 отношение интенсивностей света в точках 1,2 и 3 , расположенных за экраном на одном и том же расстоянии от него, если для точки 3 закругленный край щели совпадает с границей первой зоны Френеля.
5.118. Плоская монохроматическая световая волна падает нормально на непрозрачный экран, имеющий вид длинной полоски с круглым отверстием посередине. Для точки наблюдения $P$ отверстие представляет собой половину зоны Френеля, причем его диаметр в $\eta=1,07$ раза меньше ширины полоски. Найти с помощью
рис. 5.19 интенсивность света в точке $P$, если интенсивность падающего света равна $I_{0}$.
15.119. Свет с длиной волны $\lambda$ падает нормально на длинную прямоугольную щель ширины $b$. Найти угловое распределение интенсивности света при фраунгоферовой дифракции, а также угловое положение минимумов.
5.120. Воспользовавшись результатом, полученным в предыдущей задаче, найти условия, определяющие угловое положение максимумов первого, второго и третьего порядков.
5.121. Свет с длиной волны $\lambda=0,50$ мкм падает на щель ширины $b=10$ мкм под углом $\vartheta_{0}=30^{\circ}$ к ее нормали. Найти угловое положение первых минимумов, расположенных по обе стороны центрального фраунгоферова максимума.
5.122. Плоская световая волна с $\lambda=0,60$ мкм падает нормально на грань стеклянного клина с преломляющим углом $\theta=15^{\circ}$. На противоположной, непрозрачной, грани имеется щель ширины $b=10$ мкм, параллельная ребру клина. Найти:
a) угол $\Delta \vartheta$ между направлением на фраунгоферов максимум нулевого порядка и направлением падающего света;
б) угловую ширину фраунгоферова максимума нулевого порядка.
5.123. Монохроматический свет падает на отражательную дифракционную решетку с периодом $d=1,0$ мм под углом скольжения $\alpha_{0}=1,0^{\circ}$, Под углом скольжения $\alpha=3,0^{\circ}$ образуется фраунгоферов максимум второго порядка. Найти длину волны света.
5.124. Изобразить примерную дифракционную картину, возникающую при дифракции Фраунгофера от решетки из трех одинаковых щелей, если отношение периода решетки к ширине щели равно:
a) двум; б) трем.
5.125. При нормальном падении света на дифракционную решетку угол дифракции для линии $\lambda_{1}=0,65$ мкм во втором порядке равен $45^{\circ}$. Найти угол дифракции для линии $\lambda_{2}=0,50$ мкм в третьем порядке.
5.126. Свет с длиной волны 535 нм падает нормально на дифракционную решетку. Найти ее период, если одному из фраунгоферовых максимумов соответствует угол дифракции $35^{\circ}$ и наибольший порядок спектра равен пяти.
5.127. Определить длину волны монохроматического света, падающего нормально на дифракционную решетку с периодом $d=2,2$ мкм, если угол между направлениями на фраунгоферовы максимумы первого и второго порядков $\Delta \vartheta=15^{\circ}$.
5.128. Свет с длиной волны 530 нм падает на прозрачную дифракционную решетку, период которой равен 1,50 мкм. Найти угол с нормалью к решетке, под которым образуется фраунгоферов максимум наибольшего порядка, если свет падает на решетку:
a) нормально; б) под углом $60^{\circ} \mathrm{K}$ нормали.
5.129. Свет с длиной волны $\lambda=0,60$ мкм падает нормально на дифракционную решетку, которая нанесена на плоской поверхности плсско-выпуклой цилиндрической стеклянной линзы с радиусом кривизны $R=20$ см. Период решетки $d=6,0$ мкм. Найти расстояние между симметрично расположенными главными максимумами первого порядка в фокальной плоскости этой линзы.
5.130. Плоская световая волна с $\lambda=0,50$ мкм падает нормально на грань стеклянного клина с углом $\theta=30^{\circ}$. На противоположной грани клина нанесена прозрачная дифракционная решетка с периодом $d=2,00$ мкм, штрихи которой параллельны ребру клина. Найти углы между направлением падающего света и направлениями на главные фраунгоферовы максимумы нулевого и первого порядков. Қаков максимальный порядок спектра? Под каким углом к направлению падаощего света он будет наблюдаться?
5.131. Плоская световая волна длины $\lambda$ падает нормально на фазовую дифракционную решетку, профиль которой показан на рис. 5.26. Решетка нанесена на стеклянной пластинке с показателем преломления $n$. Найти глубину $h$ штрихов, при которой интенсивность центрального фраунгоферова максимума равна нулю. Каков при этом угол дифракции, соответствующий первому максимуму?
Рис. 5.26.
Рис. 5.27.
5.132. На рис. 5.27 показана схема установки для наблюдения дифракции света на ультразвуке. Плоская световая волна с $\lambda=$ $=0,55$ мкм проходит через кювету $K$ с водой, в которой возбуждена стоячая ультразвуковая волна с частотой $v=4,7$ МГц. В результате дифракции света на оптически неоднородной периодической структуре в фокальной плоскости объектива $O$ с фокусным расстоянием $f=35$ см возникает дифракционный спектр. Расстояние между соседними максимумами $\Delta x=0,60$ мм. Найти скорость распространения ультразвуковых колебаний в воде.
5.133. Для измерения методом Майкельсона углового расстояния $\psi$ между компонентами двойной звезды перед объективом телескопа поместили диафрагму с двумя узкими параллельными щелями, расстояние $d$ между которыми можно менять. Уменьшая $d$, обнаружили первое ухудшение видимости дифракционной картины в фокальной плоскости объектива при $d=95$ см. Найти $\psi$, считая длину волны света $\lambda=0,55$ мкм.
5.134. Прозрачная дифракционная решетка имеет период $d=$ $=1,50$ мкм. Найти угловую дисперсию $D$ (в угл. мин/нм), соответствующую максимуму наибольшего порядка спектральной линии с $\lambda=530$ нм, если свет падает на решетку
а) нормально; б) под углом $\vartheta_{0}=45^{\circ}$ к нормали.
5.135. Свєт с длиной волны $\lambda$ падает нормально на дифракционную решетку. Найти ее угловую дисперсию в зависимости от угла дифракции $\vartheta$.
5.136. Свет с $\lambda=589,0$ нм падает нормально на дифракционную решетку с периодом $d=2,5$ мкм, содержащую $N=10000$ штрихов. Найти угловую ширину дифракционного максимума второго порядка.
5.137. Показать, что при нормальном падении света на дифракционную решетку максимальная величина ее разрешающей способности не может превышать значения $l / \lambda$, где $l$ – ширина решетки, $\lambda$ – длина волны света.
5.138. Показать на примере дифракционной решетки, что разность частот двух максимумов, разрешаемых по критерию Рэлея, равна обратной величине разности времен прохождения самых крайних интерферирующих колебаний, т. е. $\delta v=1 / \delta t$.
5.139. Свет, содержащий две спектральные линии с длинами волн 600,000 и 600,050 нм, падаєт нормально на дифракционную решетку ширины 10,0 мм. Под нексторым углом дифракции $\vartheta$ эти линии оказались на пределе разрешения (по критерию Рэлея). Найти $\vartheta$.
5.140. Свет падает нормально на прозрачную дифракционную решетку ширины $l=6,5$ см, имеющую 200 штрихов на миллиметр. Исследуемый спектр содержит спектральную линню с $\lambda=670,8$ нм, которая состоит из двух компонент, отличающихся на $\delta \lambda=0,015 \mathrm{нм}$. Найти:
a) в каком порядке спектра эти компоненты будут разрешены;
б) наименьшую разность длин волн, которую может разрешить эта решетка в области $\lambda \approx 670 \mathrm{нм}$.
5.141. При нормальном падении света на прозрачную дифракционную решетку ширины 10 мм сбнаружено, ті компоненты желтой линии натрия ( 589,0 и 589,6 нм) оказываются разрешенными, начиная с пятого порядка спектра. Оценить:
a) период этой решетки;
б) при какой ширине решетки с таким же периодом можно разрешить в третьем порядке дублет спектральной линии с $\lambda=460,0$ нм, компоненты которого отличаются на 0,13 нм.
5.142. Прозрачная дифракционная решетка кварцевого спектрографа имеет ширину 25 мм и содержит 250 штрихов на миллиметр. Фокусное расстояние объектива, в фокальной плоскости которого находится фотопластинка, равно $80 \mathrm{~cm}$. Свет падает на решетку нормально. Исследуемый спектр содержит спектральную линию, компоненты дублета которой имеют длины волн 310,154 и 310,184 нм. Определить:
a) расстояния на фотопластинке между компонентами этого дублета в спектрах первого и второго порядков;
б) будут ли они разрешены в зтих порядках спектра.
5.143. Для трехгранной призмы спектрографа предельная разрешающая способность $\lambda / \delta \lambda$ обусловлена дифракцией света от краев призмы (как от щели). При установке призмы на угол наименьшего отклонения в соответствии с критерием Рэлея
\[
\lambda / \delta \lambda=b|d n / d \lambda|,
\]
где $b$ – ширина основания призмы (рис. 5.28), $d n / d \lambda$ – дисперсия ее вещества. Вывести эту формулу.
Рис. 5.28.
5.144. Трехгранная призма сгектрографа изгстовлена из стекла, показатель преломления которого зависит от длины волны света как $n=A+B / \lambda^{2}$, где $A$ и $B$ – постоянные, причем $B=0,010$ мкм $^{2}$. Воспользовавшись формулой из предыдущей задачи, найти:
a) зависимость разрешающей способности призмы от $\lambda$; вычислить $\lambda / \delta \lambda$ вблизи $\lambda_{1}=434$ нм и $\lambda_{2}=656$ нм, если ширина основания призмы $b=5,0$ см;
б) ширину основания призмы, способной разрешить желтый дублет натрия ( 589,0 и $589,6 \mathrm{нm}$ ).
5.145. Какой должна быть ширина основания трехгранной призмы, чтобы она имела такую же разрешающую способность, как и дифракционная решетка из 10000 штрихов во втором порядке спектра?
5.146. Имеется зрительная труба с диаметром объектива $D=$ $=5,0$ см. Определить разрешающую способность объектива трубы и минимальное расстояние между двумя точками, находящимися на расстоянии $l=3,0$ км от трубы, которое она может разрешить (считать $\lambda=0,55$ мКм).
5.147. Вычислить наименьшее расстояние между двумя точками на Луне, которое можно разрешить рефлектором с диаметром зеркала в 5 м. Считать, что длина волны света $\lambda=0,55$ мкм.
5.148. Определить минимальное увеличение зрительной трубы с диаметром объектива $D=5,0 \mathrm{~cm}$, при котором разрешающая способность ее объектива будет полностью использована, если диаметр зрачка глаза $d_{0}=4,0$ мм.
5.149. Имеется микроскоп с числовой апертурой объектива $\sin \alpha=0,24$, где $\alpha-$ угол полураствора конуса лучей, опадающих на оправу объектива. Найти минимальное разрешаемое расстояние для этого микроскопа при оптимальном освещении объекта свєтом с длиной волны $\lambda=0,55$ мкм.
5.150. Найти минимальное увеличение микроскопа с числовой апертурой объектива $\sin \alpha=0,24$, при котором разрешающая способность его объектива будет полностью использована, если диаметр зрачка глаза $d_{0}=4,0$ мм.
5.151. Пучок рентгеновских лучей с длиной волны $\lambda$ падает под углом скольжения $60,0^{\circ}$ на линейную цепочку из рассеивающих центров с периодом $a$. Найти углы скольжения, соответствующие всем дифракционным максимумам, если $\lambda=2 /{ }_{5} a$.
5.152. Пучок рентгеновских лучей с длиной волны $\lambda=40$ пм падает нормально на плоскую прямоугольную решетку из рассеивающих центров и дает на плоском экране, расположенном на расстоянии $l=10$ см от решетки, систему дифракционных максимумов (рис. 5.29). Найти периоды решетки $a$ и $b$ соответственно вдоль осей $x$ и $y$, если расстояния между симметрично расположенными максимумами второго порядка равны $\Delta x=60$ мм (по оси $x$ ) и $\Delta y=40$ мм (по оси $y$ ).
5.153. Пучок рентгеновских лучей падает на трехмерную прямоугольную решетку, периоды которой $a, b$ Рис. 5.29. и $c$. Направление падающего пучка совпадает с направлением, вдоль которого период решетки равен $a$. Найти направления на дифракционные максимумы и длины волн, при которых эти максимумы будут наблюдаться.
5.154. Узкий пучок рентгеновских лучей падает под углом скольжения $\alpha=60,0^{\circ}$ на естественную грань монокристалла $\mathrm{NaCl}$, плотность которого $\rho=2,16 \mathrm{r} / \mathrm{cm}^{3}$. При зеркальном отражении от этой грани образуется максимум второго порядка. Определить длину волны излучения.
5.155. Пучок рентгеновских лучей с $\lambda=174$ пм падает на поверхность монокристалла, поворачивающегося вокруг оси, которая параллельна его поверхности и перпендикулярна к направлению падающего пучка. При этом направления на максимумы второго и третьего порядков от системы плоскостей, параллельных поверхности монокристалла, образуют между собой угол $\alpha=60^{\circ}$. Найти соответствующее межплоскостное расстояние.
5.156. При прохождении пучка рентгеновских лучей с $\lambda=$ $=17,8$ пм через поликристаллический образец на экране, расположенном на расстоянии $l=15$ см от образца, образуется система дифракционных колец. Определить радиус светлого кольца, соответствующего второму порядку отражения от системы плоскостей с межплоскостным расстоянием $d=155$ пм.
