– Осңовное уравнение динамики материальной точки (второй закон Ньютона):
\[
m \frac{d \mathbf{v}}{d t}=\mathbf{F}
\]
(2) Это же уравнение в проекциях на касательную в всрмаль в траекто*耳вв точки:
\[
m \frac{d v_{\tau}}{d t}=F_{\tau}, \quad m \frac{\tau^{2}}{R}=F_{n} .
\]

Уравнение динамики точки в неинериальной $K^{\prime}$-системе отсчета, которая врашается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг оси, перемещающейся гоступательно с ускорением $\mathbf{w}_{0}$ :
\[
m \mathrm{w}^{\prime}=\mathbf{F}-m \mathrm{w}_{0}+m \omega^{2} \mathrm{R}+2 m\left[\mathrm{v}^{\prime} \omega\right],
\]
rде $\mathrm{R}$ – радиус-вектор точки относительно оси вращения $K^{\prime}$-системы.
1.59. Аэростат массы $m$ начал опускаться с постояннем ускорением w. Определить массу балпаста, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же усксрене, но направленное вверх. Сопротивлением воздуха пренебречь.
1.60. В установке (рис. 1.9) массы тел равны $m_{0}, m_{1}$ и $m_{2}$, массы блока и нитей пренебрежимо малы и трения в б.токе нет. Найти ускорение $w$, с которым опускается тело $m_{0}$, и натяжение нити, связывающей тела $m_{1}$ и $m_{2}$, если коэффициент трения между этими телами и горизонтальной поверхностью равен $k$. Исследовать возможные случаи.
Рис. 1.9。
Pnc. 1.10,
1.61. На наклонную плоскость, составляющую угол $\alpha$ с горнзонтом, поместили два соприкасәюшихся бруска 1 и 2 (рис. 1.10). Массы брусков равны $m_{1}$ и $m_{2}$, козффициенты трепия между наклонной плоскостью и этими брускамн – соответственно $k_{1}$ і $k_{2}$, причем $k_{1}>k_{2}$. Найти:
a) силу взаимодействия между брусками в процессе двикения;
б) минимальное значение угла $\alpha$, при котором начнется скольжение.
1.62. Небольшое тело пустили снизу вверх по наклонной п.тоскости, составляющей угол $\alpha=15^{\circ}$ с горизонтом. Найти коэффицнент трения, если время подъема тела
Рис. 1.11. оказалось в $\eta=2,0$ раза меньше времени спуска.
1.63. В установке (рис. 1.11) нзвестны угол $\alpha$ наклоной плоскости с горизонтом и коэффицнент трения $k$ между телом $m_{1}$ и наклонной п.лоскостью. Массы блока н нити пренебрежнмо малы, трения в блоке нет. Считая, что в начальный момент оба тела неподвижны, найти отношение масс $m_{2} / m_{1}$, при котором тело $m_{2}$ :
a) начнет опускаться;
б) начнет подниматься;
в) будет оставаться в покое.
1.64. Наклонная плоскость (см. рис. 1.11) составляет угол $\boldsymbol{a}=30^{4}$ с горизонтом. Отношение масс тел $m_{2} / m_{1}=\eta=2 / 3$. Коэффициент трения между телом $m_{1}$ и наклонной плоскостью $k=0,10$. Массы блока и нитей пренебрежимо малы. Найти модуль и направление ускорения тела $m_{2}$, если система пришла в движение из состояния покоя.
1.65. На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы $m_{1}$ и на ней брусок массы $m_{2}$. K бруску приложили горизонтальную силу, увеличивающуюся со временем $t$ по закону $F=a t$, где $a$ – постоянная. Найти зависимости от $t$ ускорений доски $w_{1}$ и бруска $w_{2}$, если коэффициент трения между доской и бруском равен $k$. Изобразить примерные графики этих зависимостей.
1.66. Небольшое тело $A$ начинает
Рис. 1.12.

скользить с вершины клина, основание которого $l=2,10$ м (рис. 1.12). Коэффициенты трения между телом и поверхностью клииа $k=0,140$. При каком значении угла $\boldsymbol{a}$ время соскальзывания будет наименьшим? Чему оно равно?
1.67. Брусок массы $m$ втаскивают за нить с постоянной скоростью вверх по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом (рис. 1.13). Коэффициент трения равен $k$. Найти угол $\beta$, который должна составлять нить с наклонной плоскостью, чтобы натяжение пити было наименьшим. Чему оно равно?
Рис. 1.13.
Рис. 1.14.
1.68. На небольшое тело массы $m$, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости, в момент $t=0$ начала действовать сила, зависящая от времени по закону $F=a t$, где $a$ – постоянная. Направление этой силы все время составляет угол $\alpha$ с горизонтом (рис. 1.14). Найти:
a) скорость тела в момент отрыва от плоскости;
б) путь, пройденный телом к этому моменту.
1.69. К бруску массы $m$, лежащему на гладкой горизонтальной плоскости, приложили постоянную по модулю силу $F=m g / 3$. В процессе его прямолинейного движения угол $\alpha$ между направ лением этой силы и горизонтом меняют по закону $\alpha=a s$, где $a$ постоянная, $s$ – пройденный бруском путь (из начального положения). Найти скорость бруска как функцию угла $\alpha$.
1.70. На горизонтальиой плоскости с коэффициентом трения $k$ находятся два тела: брусок и электромотор с батарейкой на подставке. На ось электромотора намотана нить, свободный конец которой соединен с бруском. Расстояние между обоими телами равно $l$. После включения мотора брусок, масса которого в два раза больше массы другого тела, начал двигаться с постоянным ускорением $w$. Через сколько времени оба тела столкнутся?
1.71. Через блок, прикрепленный к потолку кабины лифта, перекинута нить, к концам которой привязаны грузы с массами $m_{1}$ и $m_{2}$. Қабина начинает подниматься с ускорением $\mathbf{w}_{0}$. Пренебрегая массами блока и нити, а также трением, найти:
a) ускорения груза $m_{1}$ относительно шахты лифта и относительно кабины;
б) силу, с которой блок действует на потолок кабины.
1.72. Найти ускорение w тела 2 в системе (рис. 1.15), если его масса в $\eta$ раз больше массы бруска 1 и угол между наклонной плоскостью и горизонтом равен $\alpha$. Массы блоков и нитей, а также трение пренебрежимо малы. Исследовать возможные случаи.
Рис. 1.15.
Рис. 1.16.
1.73. В системе рис. 1.16 масоы тел равны $m_{0}, m_{1}, m_{2}$, трения нет, массы блоков и нитей пренебрежимо малы. Найти ускорение тела $m_{1}$. Исследовать возможные случаи.
1.74. В установке (рис. 1.17) известны массы стержня $M$ и шарика $m$, причем $M>m$. Шарик имеет отверстие и может скользить по нити с некоторым трением. Масса блока и трение в его оси пренебрежімо малы. В начальный момент шарик находился напротив нижнего конца стержня. После того как систему предоставили самой себе, оба тела стали двигаться с постоянными ускореииями. Найти силу трения между шариком и нитью, если через $t$ секунд после начала движения шарик оказался напротив верхнего конца стержня. Длина стержня равна $l$.
1.75. В установке (рис. 1.18) шарик 1 имеет массу в $\eta=1,8$ раза больше массы стержня 2. Длина последнего $l=100$ см. Массы блоков и нитей, а также трение пренебрежимо малы. Шарик установили на одном уровне с нижним концом стержня и отпустили. Через сколько времени он поравняется с верхним концом стержня?
Pис. 1.17.
Рис. 1.18.
Pис. 1.19.
1.76. В системе (рис. 1.19) масса тела 1 в $\eta=4,0$ раза больше массы тела 2. Высота $h=20$ см. Массы блоков и нитей, а также трение пренебрежимо малы. В некоторый момент тело 2 отпустили, и система пришла в движение. На какую максимальную высоту от пола поднимется тело 2?
1.77. Найти ускорения стержня $A$ и клина $B$ в установке (рис. 1.20), если отношение массы клина к массе стержня равно $\eta$ и трение между всеми соприкасающимися поверхностями пренебрежимо мало.
Рис. 1.20.
Рис. 1.21.
1.78. В системе (рис. 1.21) известны массы клина $M$ и тела $m$. Трение имеется только между клином и телом $m$. Соответствующий коэффициент трения равен $k$. Массы блока и нити пренебрежимо малы. Найти ускорение тела $m$ относительно горизонтальной поверхности, по которой скользит клин.
1.79. С каким минимальным ускорением следует перемещать в горизонтальном направлении брусок $A$ (рис. 1.22), чтобы тела 1 и 2 не двигались относительно него? Массы тел одинаковы, коэффициент трения между бруском и обоими телами равен $k$. Массы блока и нитей пренебрежимо малы, трения в блоке нет.
1.80. Призме 1 , на которой находится брусок 2 массы $m$, сообщили направленное влево горизонтальное ускорение $w$ (рис. 1.23). При каком максимальном значении этого ускорения брусок будет оставаться еще неподвижным относительно призмы, если коэффициент трения между ними $k<\operatorname{ctg} \alpha$ ?
Рис. 1.22.
Рис. 1.23.
1.81. На горизонтальной поверхности находится призма 1 массы $m_{1}$ с углом $\alpha$ (см. рис. 1.23) и на ней брусок 2 массы $m_{2}$. Пренебрегая трением, найти ускорение призмы.
1.82. В системе (рис. 1.24) известны массы кубика $m$ и клина $M$, а также угол клина $\alpha$. Массы блока и нити пренебрежимо малы. Трения нет. Найти ускорение клина $M$.
1.83. Частица массы $m$ движется по окружности радиуса $R$. Найти модуль среднего вектора силы, действующей на частицу на пути, равном четверти окружности, если частица движется:
Pис. 1.24.
a) равномерно со скоростью $\boldsymbol{0}$;
б) с постоянным тангенциальным ускорением $w_{\tau}$ без начальной скорости.
1.84. Самолет делает «мертвую петлю радиуса $R=500$ м с постоянной скоростью $v=360 \mathrm{км} /$ ч. Найти вес летчика массы $m=70$ кг в нижней, верхней и средней точках петли.
1.85. Небольшой шарик массы $m$, подвешенный на нити, отвели в сторону так, что нить образовала прямой угол с вертикалью, и затем отпустили. Найти:
a) полное ускорение шарика и натяжение нити в зависимости от $\vartheta$ – угла отклонения нити от вертикали;
б) натяжение нити в момент, когда вертикальная составляющая скорости шарика максимальна;
в) угол ө между нитью и вертикалью в момент, когда вектор полного ускорения шарика направлен горизонтально.
1.86. Шарик, подвешениый на нити, качается в вертикальной плоскости так, что его ускорения в крайнем и нижнем положениях равны по модулю друг другу. Найти угол отклонения нити в крайнем положении.
1.87. Небольшое тело $A$ начинает скользить с вершины гладкой сферы радиуса $R$. Найти угол $\vartheta$ (рис. 1.25), соответствующий точке отрыва тела от сферы, и скорость тела в момент отрыва.
1.88. Прибор (рис. 1.26) состоит из гладкого Г-образного стержня, расположенного в горизонтальной плоскости, и муфточки $A$ массы $m$, соединенной невесомой пружинкой с точкой B. Жесткость пружинки $x$. Вся система вращается с постоянной угловой скоростью $\boldsymbol{\omega}$ вокруг вертикальной оси, проходящей через точку 0 . Найти относительное удлинение пружинки. Қак зависит результат от направления вращения?
Рис. 1.25.
Рис. 1.26.
1.89. Велосипедист едет по круглой горизонтальной площадке, радиус которой $R$, а коэффициент трения зависит только от расстояния $r$ до центра $O$ площадки по закону $k=k_{0}(1-r / R)$, где $k_{0}$ – постоянная. Найти радиус окружности с центром в точке $O$, по которой велосипедист может ехать с максимальной скоростью. Какова эта скорость?
1.90. Автомашина движется с постоянным тангенциальным ускорением $w_{\tau}=0,62 \mathrm{~m} / \mathrm{c}^{2}$ по горизонтальной поверхности, описывая окружность радиуса $R=40$ м. Коэффициент трения скольжения между колесами машины и поверхностью $k=0,20$. Қакой путь пройдет машина без скольжения, если в начальный момент ее скорость равна нулю?
1.91. Автомашина движется равномерно по горизо́нтальному пути, имеющему форму синусоиды $y=a \sin (x / \alpha)$, где $a$ и $\alpha$ некоторые постоянные. Коэффициент трения между колесами и дорогой равен $k$. При какой скорости движение автомашины будет происходить без скольжения?
1.92. Ценочка массы $m$, образующая окружность радиуса $R$, надета на гладкий круговой конус с углом полураствора ө. Найти натяжение цепочки, если она вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси, совпадающей с осью симметрии конуса.
1.93. Через закрепленный блок перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены грузы с массами $m_{1}$ и $m_{2}$. Между нитью и блоком имеется трение. Оно таково, что нить начинает скользить по блоку, когда отношение $m_{2} / m_{1}=\eta_{0}$. Найти:
a) коэффициент трения;
б) ускорение грузов, если $m_{2} / m_{1}=\eta>\eta_{0}$.
1.94. Частица массы $m$ движется по внутренней гладкой поверхности вертикального цилиндра радиуса $R$. Найти силу давления частицы на стенку цилиндра, если в начальный момент ее скорость равна $v_{0}$ и составляет угол $\alpha$ с горизонтом.
1.95. Найти модуль и направление вектора силы, действующей на частицу массы $m$ при ее движении в плоскости $x y$ по закону $x=a \sin \omega t, y=b \cos \omega t$, где $a, b, \omega$ – постоянные.
1.96. Тело массы $m$ бросили под углом к горизонту с начальной скоростью $\mathbf{v}_{\mathbf{0}}$. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти:
a) приращение импульса $\Delta$ р тела за первые $t$ секунд движения;
б) модуль приращения импульса $\Delta$ p тела за все время движения.
1.97. На покоившуюся частицу массы $m$ в момент $t=0$ начала действовать сила, меняющаяся со временем по закону $\mathbf{F}=$ $=\mathrm{a} t(\tau-t)$, где $\mathbf{a}-$ постоянный вектор, $\tau$ – время, в течение которого действует данная сила. Найти:
a) импульс частицы после окончания действия силы;
б) путь, пройденный частицей за время действия силы.
1.98. Частица массы $m$ в момент $t=0$ начинает двигаться под действием силы $\mathbf{F}=\mathbf{F}_{0} \sin \omega t$, где $\mathbf{F}_{0}$ и $\omega$ – постоянные. Найти путь, пройденный частицей, в зависимости от времени $t$. Изобразить примерный график этой зависимости.
1.99. Частица массы $m$ в момент $t=0$ начинает двигаться под действием силы $\mathbf{F}=\mathbf{F}_{0} \cos \omega t$, где $\mathbf{F}_{0}$ и $\omega$ – постоянные. Сколько времени частица будет двигаться до первой остановки? Какой путь она пройдет за это время? Какова максимальная скорость частицы на этом пути?
1.100. Катер массы $m$ движется по озеру со скоростью $\boldsymbol{v}_{0}$. В момент $t=0$ выключили его двигатель. Считая силу сопротивления воды движению катера пропорциональной его скорости $\mathbf{F}=-r \mathbf{v}$, найти:
a) время движения катера с выключенным двигателем;
б) скорость катера в зависимости от пути, пройденного с выключенным двигателем, а также полный путь до остановки;
в) среднюю скорость катера за время, в течение которого его начальная скорость уменьшится в $\eta$ раз.
1.101. Пуля, пробив доску толщиной $h$, изменила свою скорость от $v_{0}$ до $v$. Найти время движения пули в доске, считая силу сопротивления пропорциональной квадрату скорости.
1.102. Небольшой брусок начинает скользить по наклонной плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Коэффициент трения зависит от пройденного пути $x$ по закону $k=a x$, где $a$ – постоянная. Найти путь, пройденный бруском до остановки, и максимальную скорость его на этом пути.
1.103. На горизонтальной плоскости с коэффициентом трения $k$ лежит тело массы $m$. В момент $t=0 \mathrm{k}$ нему приложили горизонтальную силу, меняющуюся со временем по закону $\mathbf{F}=$$=\mathbf{a} t$; ге $\mathbf{a}$ – постоянный вектор. Найти путь, пройденный телом за:первые $t$ секунд после начала действия этой силы.
т 1.104. Тело массы $m$ бросили вертикально вверх со скоростью $v_{0}$. Найти скорость $v^{\prime}$, с которой тело упадет обратно, если сила софротивления воздуха равна $k v^{2}$, где $k$ – постоянная, $v$ – скорость тела.
1.105. Частица массы $m$ движется в некоторой плоскости $P$ под действием постоянной по модулю силы $F$, вектор которой поворачивается в этой плоскости с постоянной угловой скоростью $\omega$. Считая, что в момент $t=0$ частица покоилась, найти:
a) ее скорость в зависимости от времени;
б) путь, проходимый частицей между двумя последовательными остановками, и среднюю скорость за это время.
1.106. Небольшую шайбу $A$ положили на наклонную плоскость, составляющую Pис. 1.27. угол $\alpha$ с горизонтом, и сообщили начальную скорость $v_{0}$ (рис. 1.27). Найти зависимость скорости шайбы от угла $\varphi$, если коэффициент трения $k=\operatorname{tg} \alpha$ и в начальный момент $\varphi_{0}=\pi / 2$.
1.107. Цепочку длины $l$ поместили на гладкую сферическую поверхность радиуса $R$ так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. С каким ускорением $w$ начнет двигаться каждый элемент цепочки, если ее верхний конец освободить? Предполагается, что длина цепочки $l<1 / 2 \pi R$.
1.108. Небольшое тело поместили на вершину гладкого ша́ра радиуса $R$. Затем шару сообщили в горизонтальном направлении постоянное ускорение $\mathbf{w}_{0}$, и тело начало скользить вниз. Найти:
a) скорость тела относительно шара в момент отрыва;
б) угол $\boldsymbol{\vartheta}_{0}$ между вертикалью и радиус-вектором, проведенным из центра шара в точку, где происходит отрыв; вычислить $\boldsymbol{\vartheta}_{0}$ при $w_{0}=g$.
1.109. Частица массы $m$ равномерно движется по окружности с заданной скоростью $v$ под действием силы $F=a / r^{n}$, где $a$ и $n$ – постоянные, $r$ – расстояние от центра окружности. При каких значениях $n$ движение по окружности будет устойчивым? Қаков радиус такой окружности?
1.110. Муфточка $A$ может свободно скользить вдоль гладкого стержня, изогнутого в форме полукольца радиуса $R$ (рис. 1.28). Систему привели
Рис. 1.28.
во вращение с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси $O O^{\prime}$. Найти угол $\vartheta$, соответствующий устойчивому положению муфточки.
1.111. Винтовку навели на вертикальную черту мишени, находящейся точно в северном направлении, и выстрелили. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, на сколько сантиметров и в какую сторону пуля, попав в мишень, отклонится от черты. Выстрел произведен в горизонтальном направлении на широте $\varphi=60^{\circ}$, скорость пули $v=900 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$ и расстояние до мишени $s=1,0 \mathrm{~km}$.
1.112. Горизонтальный диск вращают с постоянной угловой скоростью $\omega=6,0$ рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. По одному из диаметров диска движется небольшое тело массы $m=0,50$ кг с постоянной относительно диска скоростью $v^{\prime}=50 \mathrm{cм} / \mathrm{c}$. Найти силу, с которой диск действует на это тело в момент, когда оно находится на расстоянии $r=30 \mathrm{cм}$ от оси вращения.
1.113. Горизонтально расположенный гладкий стержень: $A B$ вращают с постоянной угловой скоростью $\omega=2,00$ рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец $A$. По стержню свободно скользит муфточка массы $m=0,50 \mathrm{kr}$, движущаяся из точки $A$ с начальной скоростью $v_{0}=1,00 \mathrm{~m} / \mathrm{c}$. Найти действующую на муфточку силу Кориолиса (в системе отсчета, связанной с вращающимся стержнем) в момент, когда муфточка оказялась на расстоянии $r=50$ см от оси вращения.
1.114. Горизонтальный диск радиуса $R$ вращают с постоянной угловой скоростью $\omega$ вокруг неподвижной вертикальной оси, проходящей через его край. По периферии диска равномерно относительно него движется частица массы $m$. В момент, когда она оказывается на максимальном расстоянии от оси вращения, результирующая сил инерции $F_{\text {нн }}$, действующих на частицу в системе отсчета «диск», обращается в нуль. Найти:
a) ускорение $w^{\prime}$ частицы относительно диска;
б) зависимость $F_{\text {ин }}$ от расстояния до оси вращения.
1.115. С вершины гладкой сферы радиуса $R=1,00$ м начинает соскальзывать небольшое тело массы $m=0,30$ кг. Сфера вращается с постоянной угловой скоростью $\omega=6,0$ рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Найти в системе отсчета, связанной со сферой, центробежную силу инерции и силу Кориолиса в момент отрыва тела от поверхности сферы.
1.116. Поезд массы $m=2000$ т движется со скоростью $v=$ $=54 \mathrm{км} / ч$ на широте $\varphi=60^{\circ}$. Определить горизонтальную составляющую $F$ силы давления поезда на рельсы, если путь проложен:
a) по меридиану; б) по параллели.
1.117. На экваторе с высоты $h=500$ м на поверхность Земли падает тело (без начальной скорости относительно Земли). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, на какое расстояние и в кағ ую сторону отклонится от вертикали тело при падении.