Перейдем теперь к нахождению подходящей формы уравнений движения консервативной системы, когда состояние движения в какой-лијо момент рассматривается как определяемое конфигурацией и обобщенными количествами движения, а не конфигурацией и обобщенными скоростями. Соответствующие формы кинетической энергии мы обозначим, как и в предыдущем параграфе, через $T^{\prime}$ и $T$.

Так как это лишь другие символы для одних и тех же понятии, то мы на основании $\S 74$ имеем тождество:
\[
T^{\prime}+T=\sum_{r} p_{r} \dot{q}_{r}
\]

Следовательно, применив симеол $\delta$ для обозначения полной бесконечно
1) Эта фррмула принадлежит В. Р. Гамильтону; см. § 82 .

малой вариации обобщенных скоростей и количеств движения, получим:
\[
\begin{aligned}
\delta T^{\prime} & =\sum_{r}\left(p_{r} \delta \dot{q}_{r}+\dot{q}_{r} \delta p_{r}\right)-\delta T= \\
& =\sum_{r}\left(p_{r} \delta \dot{q}_{r}+\dot{q}_{r} \delta p_{r}-\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}} \dot{\delta} \dot{q}_{r}-\frac{\partial T}{\partial q_{r}} \delta q_{r}\right), \\
\delta T & =\sum_{r}\left(\dot{q}_{r} \delta \rho_{r}-\frac{\partial T}{\partial q_{r}} \delta q_{r}\right) .
\end{aligned}
\]

Так как $p_{r}, q_{r}$ в $T^{\prime}$ являются независимыми переменными, то как уже доказано раньше, из этого ‘следует, что
\[
\dot{q}_{r}=\frac{\partial T^{\prime}}{\partial p_{r}},
\]

а также
\[
\frac{\partial^{\prime} T^{\prime}}{\partial q_{r}}=-\frac{\partial T}{\partial q_{r}} .
\]

Типичное лагранжево уравнение движения консервативной системы при отсутствии внешних сил, преобразуется теперь в следующее
\[
\dot{p}_{r}=-\frac{\partial}{\partial q_{\mathrm{r}}}\left(T^{\prime}+V\right) .
\]

Следовательно, если мы напишем
\[
H=T^{\prime}+V,
\]

то равенства (6) и (4) ‘примут вид:
\[
\dot{p}_{r}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}}, \quad \dot{q}_{r}=\frac{\partial H}{\partial p_{r}},
\]

где $H$ означает полную энергию системы, выраженную черөз обобщенные координаты и количества движения.

Таким образом для определения $n$ координат и $n$ количеств движения, как функций от $t$, мы имеем полную систему $2 n$ диференциальных уравнений первого порядка. Их называют, „канонической формой“ уравнений движения консервативной системы ${ }^{1}$ ).

Правильность уравнения энергии подтверждается непосредственно. Так, на основании (8)
\[
\frac{d H}{d t}=\sum_{r}\left(\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \dot{q}_{r}+\frac{\partial H}{\partial p_{r}} \dot{p}_{r}\right)=0 .
\]
1) Sir W. R. Hamilton, On a General Method in Dynamics, «Phil. Trans.», 1834.

Уравнения в форме (8) имеют место также и в случае нестационарных связей (т. е. связей, зависящих от времени) (§79), но тогда $H$ имеет другой смысл. Положим:
\[
H=\sum_{r} p_{r} \dot{q}_{r}-T+V,
\]

и представим себе, что эта функция выражена через обобщенные количества движения, координаты и время $t$. Мы предполагаем, что внутренние силы системы консервативны и что потенциальная энергия $V$ представляет функцию одних координат 1). Произведя варьрование обеих частей равенства (10), мы на основании § 79 получим:
\[
\begin{aligned}
\delta H & =\sum_{r}\left\{\dot{q}_{r} \delta p_{r}+\left(p_{r}-\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{r}}\right) \dot{\delta} \dot{q}_{r}-\frac{\partial}{\partial q_{r}}(T-V) \delta q_{r}\right\}= \\
& =\sum_{r}\left\{\dot{q}_{r} \delta p_{r}-\dot{p}_{r} \hat{\delta} q_{r}\right\} .
\end{aligned}
\]

Следоватетьно,
\[
\dot{q}_{r}=\frac{\partial \dot{H}}{\partial p_{r}}, \dot{p}_{r}=-\frac{\partial H}{\partial q_{r}} .
\]

Но вместо (9) мы теперь имеем:
\[
\frac{d H}{d t}=\frac{\partial H}{d t}+\sum_{r}\left(\frac{\partial H}{\partial p_{r}} \dot{p}_{r}+\frac{\partial H}{\partial q_{r}} \dot{q}_{r}\right)=\frac{\partial H}{\partial t} .
\]