Если коордкнаты $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}$ преобразованы при помощи линейной подстановки с постоянными коэфициентами, например:
\[
q_{r}=A_{r}^{\theta}+A_{r}^{\prime} \theta^{\prime}+A_{r}^{\prime \prime} \theta^{\prime \prime}+\ldots,
\]

где $\theta, \theta^{\prime}, \theta^{\prime \prime}, \ldots$ означают $n$ новых переменных; то квадратичный характер выражений для кинетической и потенциальной энергии и общий характер предыдущего решения, конечно, не изменятся. Но мы получим существенное упрощение, если коэфициенты в формулах (1) определим так, чтобы обе формулы для $T$ и $V$ приводились к суммам квадратов, например:
\[
\begin{array}{l}
2 T=a \dot{\theta}^{2}+a^{\prime} \dot{\theta}^{\prime 2}+a^{\prime \prime} \dot{\theta}^{\prime \prime 2}+\ldots, \\
2 V=c^{2}+c^{\prime} \theta^{\prime 2}+c^{\prime \prime} \theta^{\prime \prime 2}+\ldots .
\end{array}
\]

На основании алгебраических соображений это всегда возможно, так как в формулах преобразования (1) мы имеем в своем распоряже нии $n^{2}$ коэфициентов, которые можно выбрать так, чтобы $\frac{1}{2} n(n-1)$ произведений (таких как $\ddot{\theta} \dot{\theta}^{\prime}$ ) в окончательном выражении $T$ и $\frac{1}{2} n(n-1)$ произведений в выражении $V$ исчезли. Кроме того, мы. можем всегда удовлетворить $n$ добавочным соотношениям; например, мы можем наложить условия
\[
a=a^{\prime}=a^{\prime \prime}=\ldots=1 .
\]

Если указанное преобразование выполнено, то новые переменные $\theta, \theta^{\prime}, \theta^{\prime \prime}, \ldots$ называются „главными \” или „нормальными“ координатами. Коэфициенты $a, a^{\prime}, a^{\prime \prime}, \ldots$ называются „лавными коэфициентами инерции“; они положительны благодаря тому, что $T$ имеет существенно положительныИ характер. Коэфициенты $c, c^{\prime}, c^{\prime \prime}, \ldots$ называются ${ }_{n}$ главными коэфициентами устойчивости“; они положительны, если $V$ при положении равновесия (около которого происходит движение) имеет минимум.

Уравнения движения в нормальных координатах (3) §90 принимают вид:
\[
a \ddot{\theta}+c \theta=0, \quad a^{\prime} \ddot{\theta^{\prime}}+c^{\prime} \theta^{\prime}=0, \quad a^{\prime \prime} \ddot{\theta}^{\prime \prime}+c^{\prime \prime} \theta^{\prime \prime}=0, \ldots .
\]

Эти уравнения независимы и в случае полной устойчивостп решения их:
\[
6=C \cos (\sigma t+\varepsilon), \quad \theta^{\prime}=C^{\prime} \cos \left(\sigma^{\prime} t+\varepsilon^{\prime}\right), \quad \theta^{\prime \prime}=C^{\prime \prime} \cos \left(\sigma^{\prime \prime} t+\varepsilon^{\prime \prime}\right), \ldots,
\]

где
\[
\sigma^{2}=\frac{c}{a}, \quad \sigma^{\prime 2}=\frac{c^{\prime}}{a^{\prime}}, \quad \sigma^{\prime \prime 2}=\frac{c^{\prime \prime}}{a^{\prime \prime}}, \ldots,
\]

представляют $n$ нормальных колебаний, свойственных системе. При каждом нормальном колебании изменяется только одна главная координата.

Если все корни определителя $\Delta\left(\lambda^{2}\right)$ различны, то необходимое преобразование единственное и может быть выполнено при помощи некоторых „ортогональных “ или \”сопряженных“ соотношений, которые мы и будем употреблять в дальнейшем.

Пусть $\lambda^{2}$ означает один из корней определителя $\Delta\left(\lambda^{2}\right)$ и пусть $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ удовлетворяют $n$ соотношениям (6) $\S 90$, а именно:
\[
\left(a_{1 r} \lambda^{2}+c_{1 r}\right) A_{1}+\left(a_{2 r} \lambda^{2}+c_{2 r}\right) A_{2}+\ldots+A\left(a_{n} \lambda^{2}+C_{n r}\right) A_{n}=0 .
\]

Если $\lambda^{\prime 2}$ будет другой корень, отличный от первого, то мы таким же образом определим $A_{1}^{\prime}, A_{2}^{\prime}, \ldots, A_{n}^{\prime}$ как функции от $\lambda^{\prime 2}$. Умножим
1) Это возможно, даже если система имеет не одно, а несколько решений, как в случае кратного корня.

теперь $n$ уравнений (7) последовательно на $A_{1}^{\prime}, A_{2}^{\prime}, \ldots, A_{n}^{\prime}$ и сложим. Результат можно записать в виде:
\[
\lambda^{2} T\left(A, A^{\prime}\right)+V\left(A, A^{\prime}\right)=0,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
2 T\left(A, A^{\prime}\right)=a_{11} A_{1} A_{1}^{\prime}+a_{22} A_{2} A_{2}^{\prime}+\ldots+a_{12}\left(A_{1} A_{2}^{\prime}+A_{1}^{\prime} A_{2}\right)+\ldots \\
2 V\left(A, A^{\prime}\right)=c_{11} A_{1} A_{1}^{\prime}+c_{22} A_{2} A_{2}^{\prime}+\ldots+c_{12}\left(A_{1} A_{2}^{\prime}+A_{1}^{\prime} A_{2}\right)+\ldots
\end{array}
\]

Благодаря симметрии этих формул, мы должны иметь также:
\[
\lambda^{\prime 2} T\left(A, A^{\prime}\right)+V\left(A, A^{\prime}\right)=0 .
\]

Так как по предположению $\lambda^{2}
eq \lambda^{\prime 2}$, то, следовательно, имеем равенства:
\[
T\left(A, A^{\prime}\right)=0, \quad V\left(A, A^{\prime}\right)=0,
\]

которые и представляют упомянутые выше ортогональные соотношения.
Далее, если уравнения (7) умножим соответственно на $A_{1}, A_{2}, \ldots$, $A_{n}$ и сложим, то получим:
\[
\lambda^{2} T(A)+V(A)=0,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
2 T(A)=2 T(A, A)=a_{11} A_{1}^{2}+a_{22} A_{2}^{2}+\ldots+2 a_{12} A_{1} A_{2}+\ldots, \\
2 V(A)=2 V(A, A)=c_{11} A_{1}^{2}+c_{22} A_{2}^{3}+\ldots+2 c_{12} A_{1} A_{2}+\ldots
\end{array}
\]

Если теперь произвести подстановку из (1) в выражения кинетической и потенциальной энергии, то они приведутся к суммам квадратов, так как на основании (12) коэфициенты перед произведеңиями обратягся в нуль. Мы получим формулы (2) и (3), в которых
\[
\begin{array}{ll}
a=T(A), & a^{\prime}=T\left(A^{\prime}\right), \quad a^{\prime \prime}=T\left(A^{\prime \prime}\right), \ldots, \\
c=V(A), & c^{\prime}=V\left(A^{\prime}\right), \quad c^{\prime \prime}=V\left(A^{\prime \prime}\right), \ldots
\end{array}
\]

Заметим, наконец, что так как $a, a^{\prime}, a^{\prime \prime}, \ldots$ положительны, то мы можем написать:
\[
\varphi=\sqrt{a} \theta, \varphi^{\prime}=\sqrt{a^{\prime}} \theta^{\prime}, \varphi^{\prime \prime}=\sqrt{a^{\prime \prime}} \theta^{\prime \prime}, \ldots,
\]

и таким образом привести формулы (2) и (3) к виду:
\[
\begin{aligned}
2 T & =\dot{\varphi}^{2}+\dot{\varphi}^{\prime 2}+\dot{\varphi}^{\prime 2}+\ldots \\
2 V & =\frac{c}{a} \varphi^{2}+\frac{c^{\prime}}{a^{\prime}} \varphi^{\prime 2}+\frac{c^{\prime \prime}}{a^{\prime \prime}} \varphi^{\prime \prime 2}+\ldots,
\end{aligned}
\]

Пример. Рассмотреть задачу о колебаниях трех масс, прикрепленных к натянутой нити, как в примере $2 \S 91$.

Если мы вместо $\frac{m a}{P}$ будем писать $k$, то характеристическим уравнением будет:
\[
\left.\begin{array}{rrr}
k \lambda^{2}+2 & -1 & 0 \\
-1 & k \lambda^{2}+2 & -1 \\
0 & -1 & k \lambda^{2}+2
\end{array} \right\rvert\,=0
\]

корни которого удовлетворяют соответственно равенствам:
\[
k \lambda^{2}+2=0, \sqrt{2},-\sqrt{2} .
\]

Минорами первой строки определигеля являются соответственно:
\[
\left(k \lambda^{2}+2\right)^{2}-1, k \lambda^{2}+2,1 .
\]

Для значений, соответствующих трем предыдущим корням, имеем:
\[
\begin{array}{ll}
\alpha_{1}=-1, \alpha_{2}=0, & \alpha_{3}=1, \\
\alpha_{1}^{\prime}=1, \alpha_{2}^{\prime}=\sqrt{2}, & \alpha_{3}^{\prime}=1, \\
\alpha_{1}^{\prime \prime}=1, \alpha_{2}^{\prime \prime}=–\sqrt{2}, \alpha_{3}^{\prime \prime}=1 .
\end{array}
\]

Поэтому в соответствии с (1) положим:
\[
y_{1}=-\theta+\theta^{\prime}+\theta^{\prime \prime}, y_{2}=\sqrt{2}\left(\theta^{\prime}-\theta^{\prime \prime}\right), y_{3}=\theta+\theta^{\prime}+\theta^{\prime \prime} .
\]

Это дает нам:
\[
\begin{array}{c}
T=m\left(\dot{\dot{\psi}}^{2}+2 \dot{\theta}^{\prime 2}+2 \dot{b}^{\prime \prime 2}\right), \\
V=\frac{2 P}{a}\left\{\dot{\theta}^{2}+(2-\sqrt{2}) \theta^{\prime 2}+(2+\sqrt{2}) \theta^{\prime \prime 2}\right\} .
\end{array}
\]

Для дополнительного доказательства действительности всех корней определителя $\Delta\left(\lambda^{2}\right)$ можно составить ортогональные соотношения (12). Так как комплексные корни, если они имеются, будут попарно сопряженными, то
\[
\lambda^{2}=p+i q, \lambda^{\prime 2}=p-i q,
\]

а соответствующие значения $A, A^{\prime}$ будут также сопряженными комплексными количествами, например,
\[
A_{r}=M_{r}+i N_{r}, A_{r}^{\prime}=M_{r}^{\prime}-i N_{r}^{\prime},
\]

что дает соотношения:
\[
A_{r} A_{r}^{\prime}=M_{r}^{2}+N_{r}^{s}, A_{r} A_{s}^{\prime}+A_{r}^{\prime} A_{s}=2 M_{r} M_{s}+2 N_{r} N_{s} .
\]

Следовательно на основании (9) соотношение
\[
T\left(A, A^{\prime}\right)=0
\]

принимает вид:
\[
T(M)+T(N)=0,
\]

что невозможно, так как оба члена существенно положительны.