Уравнения свободного движения имеют теперь вид:
\[
\left.\begin{array}{rl}
a_{1 r} \ddot{q}_{1} & +a_{2 r} \ddot{q}_{2}+\ldots+a_{n r} \ddot{q}_{n}+ \\
& +b_{1 r} \dot{q}_{1}+b_{2 r} \dot{q}_{2}+\ldots+b_{n r} \dot{q}_{n}+ \\
& +c_{1 r} q_{1}+c_{2 r} q_{2}+\ldots+c_{n r} q_{n}=0
\end{array}\right\}
\]

где
\[
a_{r s}=a_{s r}, b_{r s}=b_{s r}, c_{r s}=c_{s r} .
\]

Если положим
\[
q_{r}=A_{r} e^{\lambda t},
\]
1) Proc. Lond. Math. Soc. (1), т. IV 1873; .Theory of Sound“, гл. V.

то получим $n$ уравнений вида:
\[
\begin{array}{c}
\left(a_{1 r} \lambda^{2}+b_{1 r} \lambda+c_{1 r}\right) A_{1}+\left(a_{3 r} \lambda^{\lambda}+b_{2 r} \lambda+c_{2 r}\right) A_{2}+\ldots+1 \\
+\left(a_{n r} \lambda^{2}+b_{n r} \lambda+c_{n r}\right) A_{n}=0 .
\end{array}
\]

Исключив $n-1$ отношении:
\[
A_{1}: A_{2}: \ldots: A_{n},
\]

мы получим характеристическое уравнение степени $2 n$ относительно $\lambda$ в виде симметричного определителя, которое мы запишем следующим образом:
\[
\Delta(\lambda)=0 .
\]

Соответственно одному из корней этого уравнения мы будем иметь:
\[
\frac{A_{1}}{\alpha_{1}}=\frac{A_{2}}{\alpha_{2}}=\ldots=\frac{A_{n}}{\alpha_{n}},
\]

где $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$ – миноры элементов какой-нибудь строки определителя $\Delta(\lambda)(\S 90)$.

Поступая так же как и в $\S 92$, но заменяя $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n}$ через $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{n}$, мы найдем, что
\[
\lambda^{2} T(\alpha)+\lambda F(\alpha)+V(\alpha)=0 .
\]

Если предположим, что $V$, а также $F$ и $T$ существенно положительны, то полученное уравнение покажет, что действительные значения $\lambda$ при денствительных значениях миноров а должны быть отрицательными.

Далее, если $\lambda^{\prime}$ будет вторым корнем уравнения (5) и если миноры определителя $\Delta\left(\lambda^{\prime}\right)$ обозначим штрихами, то при очевидном обобщении обозначений $\S 92$ найдем:
\[
\begin{array}{r}
\lambda^{2} T\left(\alpha, \alpha^{\prime}\right)+\lambda F\left(\alpha, \alpha^{\prime}\right)+V\left(\alpha, \alpha^{\prime}\right)=0, \\
\lambda^{\prime 2} T\left(\alpha, \alpha^{\prime}\right)+\lambda^{\prime} F\left(\alpha, \alpha^{\prime}\right)+V\left(\alpha, \alpha^{\prime}\right)=0 .
\end{array}
\]

Следовательно, если $\lambda$, $\lambda^{\prime}$ не равны, то
\[
\lambda+\lambda^{\prime}=-\frac{F\left(\alpha, \alpha^{\prime}\right)}{T\left(\alpha, \alpha^{\prime}\right)}, \quad i \lambda^{\prime}=\frac{V\left(\alpha, \alpha^{\prime}\right)}{T\left(\alpha, \alpha^{\prime}\right)},
\]

Если $\lambda, \lambda^{\prime}$ пара сопряженных комплексных корней, например:
\[
\lambda=\rho+i \sigma, \lambda^{\prime}=p-i \sigma,
\]

то мы можем написать:
\[
\alpha_{r}=\mu_{r}+i
u_{r}, \alpha_{r}^{\prime}=\mu_{r}^{\prime}-i
u_{r}^{\prime} .
\]

Таким образом найдем::
\[
2 p=-\frac{F(\mu)+F(
u)}{T(\mu)+T(
u)}, p^{2}+\sigma^{2}=\frac{V(\mu)+V(
u)}{T(\mu)+T(
u)} .
\]

Первое из этих равенств показывает, что комплексные корни уравнения (5) будут иметь отрицательные вещественные части.

Для каждого действительного корня уравнения (5) будем иметь, следовательно, решение типа
\[
q_{r}=C \alpha_{r} e^{\rho t},
\]

где $\rho$ величина отрицательная. Эти перемещения с течением времени уменьшаются без колебаний, и потому движение называется „апериодическим\”.

Если решение, соответствующее паре сопряженных комплексных корнен, представить в вещественном виде, то получится:
\[
q_{r}=A\left\{\mu_{r} \cos (\sigma t+\varepsilon)-V_{r} \sin (\sigma t+\varepsilon)\right\} e^{\rho t},
\]

где постоянные $A$, \& произвольны, но одинаковы для всех координат. Это решение представляет простое гармоничесіое колебание, амплитуда которого уменьшается асимптотически до нуля. В § 90 было найдено, что при отсутствии трения ${ }^{1}$ ) фаза в один и тот же момент одинакова для всех координат. Формула (15) показывает, что в рассматриваемом случае этот вывод уже не имеет места. Легко видеть, что движение каждой материальной точки будет вообще (вынужденным) эллиптическим гармоническим колебанием.

Когда коэфициенты трения $b_{r r}, b_{r s}$ малы, рассмотрение непрерывности показывает, что корни уравнения (5) будут мнимыми, а количества $v_{r}$ будут малыми. Тогда формулы (13) показывают, что величина $\rho$ мала и что с точностью до величин первого порядка малости, мы имеем:
\[
\sigma^{2}=\frac{V(\mu)}{T(\mu)} .
\]

Количества $\mu_{r}$ будут лишь незначительно отличаться от тех значений, которые онй имели бы при отсутствии трения, а экстремальное свойство нормальных колебаний, доказанное в § 95, показывает, что влияние трения на $\sigma^{2}$, выражающееся формулой (16), представляет величину лишь в тор ого порядка малости.

Следовательно, влияние незначительного трения выражается преимущественно в изменении а мплитуд колебаний, а периоды собственных колебаний практически не изменяются.

Метод, которому надо следовать при рассмотрении вынужденных колебаний с трением, понятен на основании изложенного в § 96 . Если коэфициенты трения малы, то изменение предыдущих результатов незначительно, за исключением случая точного или приблизительного совпадения собственной и наложенной частот. Общий характер результатов достаточно иллюстрируется случаем одной степени свободы („Динамика“, § 95). Теория полностью развита в \”Theory of Sound “ Рэлея.
1) Под силами трения здесь и дальше подразумеваюгся зависящие от скоростей, силы так называемого вязкого трения, какие имеют место при движении в жидкой (вязкой) среде или в воздухе и т. п. Прим. ред.