„Характеристическая функция“. В $\S \S 104$ и 105 мы имели дело со свободным движением консервативной системы в пределах между двумя конфигурациями, принимаемыми ею, сравнивая его с произвольными ${ }^{1}$ ) движениями между теми же конфигурациями. Так было показано, что с точностью до величин первого порядка „действие\” не изменяется, если мы будем сравнивать действия для (свободного) естественного движения и другого слегка измененного, между теми же двумя конфигурациями и с одинаковой полной энергией.

Исследуем тетерь изменение в величине \”действия\” при действительном движении по сравнению с \”действием\” при другом тоже естественном (т. е. здесь тоже без связей) движении, но при котором и начальная и конечная конфигурации, а также и заданное значение энергии, незначительно изменяются. Пусть
\[
A=\int_{t}^{t^{t}} T d t
\]

где $t$ и $t^{\prime}$ означают моменты прохождения через начальную и конечную конфигурации; кроме того, пусть $h$ означает полную энергию в перво-
1) Хотя бы и воображаемыми. Прим. перев.

нагальном движении. Аналогично тому, как это изложено в § 104, найдем:
\[
\begin{aligned}
\Delta A= & 2 T^{\prime} \Delta t^{\prime}-2 T \Delta t+\int_{i}^{t^{\prime}} \delta(T+V) d t+ \\
& +\sum m\left(\dot{x}^{\prime} \delta x^{\prime}+\dot{y}^{\prime} \delta y^{\prime}+\dot{z^{\prime}} \delta z^{\prime}\right)-\sum m(\dot{x} \delta x+\dot{y} \delta y+\dot{z} \delta z),
\end{aligned}
\]

где буквы, отмеченные штрихами, относятся к моменту времени $t$, а буквы без штрихов к моменту времени $t$.

В соответствии с нашими обозначениями, варьированные крайние (т. е. начальная и конечная) конфигурации соответствуют моментам времени $t+\Delta t$ и $t^{\prime}+\Delta t$, а соотвєтствующие положения материальной точки $m$ системы будут:
\[
(x+\Delta x, \dot{y}+\Delta y, z+\Delta z) \text { и }\left(x^{\prime}+\Delta x^{\prime}, y^{\prime}+\Delta y^{\prime}, z^{\prime}+\Delta z^{\prime}\right) .
\]

Если теперь $A, A^{\prime}$ будут начатьное и конечное положения точки $m$ на ее первоначальной траектории, $B, B^{\prime}$ – варьированные начальное и конечное положения, а $\alpha, \alpha^{\prime}$ – положения на варьированной траектории соответственно в моменты времени $t$, $t^{\prime}$, то мы имеем векторные равенства:
\[
A B=A \alpha+\alpha 3, A^{\prime} B^{\prime}=A^{\prime} \alpha^{\prime}+\alpha^{\prime} B^{\prime} .
\]

Проектируя эти векторы на оси координат, получим:
Фиг. 62.
\[
\begin{array}{l}
\Delta x=\delta x+\dot{x} \Delta t, \Delta y=\delta y+\dot{y} \Delta t, \Delta z=\delta z+\dot{z} \Delta t, \\
\Delta x^{\prime}=\delta x^{\prime}+\dot{x}^{\prime} \Delta t, \Delta y^{\prime}=\delta y^{\prime}+\dot{y^{\prime}} \Delta t, \Delta z^{\prime}=\delta z^{\prime}+\dot{z}^{\prime} \Delta t .
\end{array}
\]

Следовательно, произведя подстановку выражений $\delta x, \delta x^{\prime}, \ldots$ в (2) и положив $t^{\prime}-t=\tau$, найдем:
\[
\begin{aligned}
\Delta A=\tau \hat{\delta} h & +\sum m\left(\dot{x}^{\prime} \Delta x^{\prime}+\dot{y}^{\prime} \Delta y^{\prime}+\dot{z}^{\prime} \Delta z^{\prime}\right)- \\
& -\sum m(\dot{x} \Delta x+\dot{y} \Delta y+\dot{z} \Delta z) .
\end{aligned}
\]

На основании изложенного в § 102 это же равенство принимает в обобщенных координатах следующий вид:
\[
\Delta A=\tau \hat{\delta} h+\sum_{r} p^{\prime} \Delta q^{\prime}-\sum_{r} p \Delta q .
\]

Выбрав две произвольные конфигурации, мы при некоторых ограничениях ${ }^{1}$ ) можем вывести систему с заданным значением полной энергии
1) Характер ограничерий иллюстрирован на примере дзижения снаряда. Второе положение должно быть внутри зоны обстрела.

из одной конфигурации так, чтобы она прошла через другую. Тогда рассматривая, „денствле\” $A$, как функцию от началь:\”х и ко еечных координат, а также и от энергии, будем иметь:
\[
p_{r}^{\prime}=\frac{\partial A}{\partial q_{r}^{\prime}}, p_{r}=-\frac{\partial A}{\partial q_{r}}
\]

и
\[
\tau=\frac{\partial A}{\partial h} .
\]

Функцию $A$, определенную таким образом, Гамильтон назвал „характеристической функцией“. Ее вид, если он известен, определит все механические свойства системы. Так, если даны начальные координаты $q_{r}$ и импульсы $p_{r}$, то $n$ уравнений:
\[
\frac{\partial A}{\partial q_{r}}=-p_{r},
\]

вместе с (6) определят $h$ и значения $q_{r}^{\prime}$ координат по истечении указанного интервала $\tau$. Конечные значения импульсов определятся тогда при помощи формул:
\[
p_{r}^{\prime}=\frac{\partial A}{\partial q_{r}^{\prime}} .
\]

Диференциальное уравнение, служащее для определения $A$ дано в $\S 110$.

ПРимЕр. Если $U$ означает оптическое расстояние между точками $(x, y, z)$ и ( $\left.x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)$ в среде с (переменным) показателе преломления $\mu$, а именно:
\[
U=\int \mu d s,
\]

то по корпускуллрной теории света имеем $\mu=v$ при условин, что скорость света в вакуме принята равной единице. Следовательно, на основании формул (5) будем иметь:
\[
\mu \frac{d x^{\prime}}{d s^{\prime}}=\frac{\partial U}{\partial x^{\prime}}, \mu \frac{d y^{\prime}}{d s^{\prime}}=\frac{\partial U}{\partial y^{\prime}}, \mu \frac{d z^{\prime}}{d s^{\prime}}=\frac{\partial U}{\partial z^{\prime}},
\]

где $d s^{\prime}$ означает элемент траектории луча. Откуда
\[
\left(\frac{\partial U}{\partial x^{\prime}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial U}{\partial y^{\prime}}\right)^{2}+\left(\frac{\partial U}{\partial z^{\prime}}\right)^{2}=\mu^{2} .
\]

Эrо уравнение представляет частный случай уравнения Гамильтона (21) § 110. Эти уравнения имеют важное значение в гамильтоновом изложении геометрической оптики. Конечно, физический смысл функции $U$ в волновой тєории света другой, там она измеряет время распространения, а не пдействие“. В соответствии с этим основанием формулы служит тогда вместо принципа \”наименьшего действия“ принцип „наименьшего времени“, который сформулировал Ферма (§111).