Соответствующую теорию для циклических систем дал Јармор (Larmor) ${ }^{1}$ ). Мы напомним определение функции $R$, данное в $\S 83$, а именно:
\[
R=T-x \dot{\chi}-x^{\prime} \dot{\chi}^{\prime}-x^{\prime \prime} \dot{\chi}^{\prime \prime}-\ldots,
\]

причем предполагается, что она выражена через позиционные координаты $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{m}$ и через соответствующие скорости, а также через постоянные импульсы $x$ циклических двкжений. Было доказано, что
\[
p_{r}=\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{\mathrm{r}}}
\]

и что $R$ удовлетворяет $m$ уравнениям типа:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{r}}-\frac{\partial R}{\partial q_{r}}=-\frac{\partial V}{\partial q_{r}} .
\]

Следовательно, после интегрирования по частям получится:
\[
\begin{aligned}
\int_{t}^{t^{\prime}} \delta(R-V) d t & =\sum_{r} \int_{t}^{t^{\prime}}\left(\frac{\partial R}{\partial \dot{q}_{r}} \delta \dot{q}_{r}+\frac{\partial R}{\partial q_{r}} \delta q_{r}-\frac{\partial V}{\partial q_{r}} \dot{\delta} q_{r}\right) d t= \\
& =\sum_{r} p_{r}{ }^{\prime} \delta q_{r}{ }^{\prime}-\sum_{r} p_{r} \delta q_{r} .
\end{aligned}
\]

Лармор за видоизмененную циклическую функцию принимает
\[
S_{1}=\int_{t}^{t^{\prime}}(R-V) d t \text {, }
\]
1) Proc. Lond. Math. Soc. (1), r. XV, 1884.

предполагая, что она выражена через величины, характеризующие начальную и конечную конфигурации (поскольку они зависят от позиционных координат $q_{r}$ ), и через время перехода $\tau$. Если эти элементы переменные, то мы будем иметь:
\[
\begin{array}{l}
\Delta S_{1}=\left(R^{\prime}-V^{\prime}\right) \Delta t^{\prime}-(R-V) \Delta t+\sum_{r} p_{r}^{\prime}\left(\Delta q_{r}{ }^{\prime}-\dot{q}_{r}{ }^{\prime} \Delta t^{\prime}\right)- \\
-\sum_{r} p_{r}\left(\Delta q_{r}-\dot{q}_{r} \Delta t\right)= \\
=\left(R^{\prime}-V^{\prime}-\sum_{r} p_{r}^{\prime} \dot{q}_{r}{ }^{\prime}\right) \Delta t^{\prime}-\left(R-V-\sum_{r} p_{r} \dot{q}_{r}\right) \Delta t+ \\
+\sum_{r} p_{r}{ }^{\prime} \Delta q_{r}{ }^{\prime}-\sum_{r} p_{r} \Delta q_{r}
\end{array}
\]

Так как теперь

то на основании (1) будем иметь:
\[
\sum_{r} p_{r} \dot{q}_{r}^{\prime}=R+T
\]

Следовательно,
\[
\begin{aligned}
\Delta S_{1} & =-H^{\prime} \Delta t^{\prime}+H \Delta t+\sum_{r} p_{r}{ }^{\prime} \Delta q_{r}{ }^{\prime}-\sum_{r} p_{r} \Delta q_{r}= \\
& =-H \delta \tau+\sum_{r} p_{\tau}{ }^{\prime} \Delta q_{r}{ }^{\prime}-\sum_{r} p_{r} \Delta q_{r},
\end{aligned}
\]

так как членами второго порядка мы пренебрегаем. Как и в § 107, $H$ представляет полную энергию, которая постоянна вдоль каждой естественной траектории.

Если $\Delta q_{r}=0, \Delta q_{r}^{\prime}=0, \Delta \tau=0$, то мы имеем: $\Delta S_{1}=0$; это равенство представляет обобщение принципа Гамильтона (§ 105). Если крайние конфигурации и $\tau$ переменны, то мы будем иметь:
\[
p_{r}{ }^{\prime}=\frac{\partial S_{1}}{\partial q_{r}^{\prime}}, \quad p_{r}=-\frac{\partial S}{\partial q_{r}}
\]

и
\[
\frac{\partial S_{1}}{\partial \tau}=-H
\]

Видоизмененной формоны пхарактеристической функции\” $A$ является следующая:
\[
A_{1}=\int_{t}^{t}\left(2 T-\dot{x}-x^{\prime} \dot{\chi}^{\prime}-x^{\prime \prime} \dot{\chi}^{\prime \prime}-\ldots\right) d t=\int_{i}^{t^{\prime}}(R+T) d t .
\]

Предполагается, что она выражена через те же величины, как и $S$ с тем лишь исключением, что в роли независимого переменного время перехода заменено полной энергией. На основании сравнения с (5) получим:
\[
A_{1}=S_{1}+\int_{i}^{t^{\prime}}(T+V) d t=S_{1}+h \tau_{1},
\]

где $h$ будет значением $H$, заданныи для каждой рассматриваемой естественной траектории. Следовательно,
\[
\Delta A_{1}=\Delta S_{1}+\tau \Delta h+h \Delta \tau=\tau \Delta h+\sum_{r} p_{r}{ }^{\prime} \Delta q_{r}{ }^{\prime}-\Sigma p_{r} \Delta q_{r} .
\]

Это приводит к равенствам:
\[
p_{r}^{\prime}=\frac{\partial A_{1}}{\partial q_{r}^{\prime}}, \quad p_{r}=-\frac{\partial A}{\partial q_{r}}
\]

и
\[
\frac{\partial A}{\partial h}=\tau
\]

имеющим такую же форму, как и в § 106.