Мы рас: смотрим ортогональную проекцию на линию действия силы бесконечно малого перемещения какой-либо точки тела, лежащей на этой прямой. Произведение самой силы на эту проекцию мы назовем работою силы при бесконечно малом перемещении. С точностью до бесконечно малых второго порядка не имеет значения, какую именно точку мы рассматриваем на линии действия силы. Другое определение для работы силы, равносильное этому, следующее. Работа силы на бесконечно малом перемещении есть произведение перемещения произвольной точки, находящейся на линии действия силы, на ортогональную проекцию силы на направление перемещения. Согласно каждому из этих двух определении работа равна $F \hat{\delta} s \cos \theta$, где $F$ есть сила, $\delta s$ – перемещение, а $\theta$ – угол между их направлениями.

Работа двух или большего числа сил, направления которых сходятся в одной точке, при малом перемещении твердого тела равна работе одной силы, их равнодействующей, приложенной к точке пересечения их направлении. Действительно, если $P$ и $Q$ – две силы, $R$-их равнодействующая, $\delta s$ – перемещение точки приложения, то сумма ортогональных проекции $P$ и $Q$ на направление $\delta s$ равна ортогональной проекции $R$. Доказательство такое же, какое нами дано для случая плоского движения („Статика“, § 47), но в настоящем случае уже больше не предполагается, что $\delta s$ должно находиться в плоскости $P$ и $Q$.
1) Предыдущие предложения даны Мёбиусом.

Отсюда следует, что работа любой системы сил при всяком бесконечно малом перемещении твердого тела равна работе всякой другой системы, которая ей статически эквивалентна. В частности она будет равна работе силы и пары эквивалентной динамы.

Предположим, например, что действующие на тело силы были приведены, как в $\S 19$, к динаме $(P, Q, R, L, M, F$ ), и что тело испытывает винтовое перемещение ( $l, m, n, p, p, r$ ) в обозначениях $\S 9$.
Работа при этом перемещении будет равна
\[
L p+M q+N r+P l+Q m+R n,
\]

так как работа силы $P$, приложенной к началу координат, будет при перемещении равна $P l$, а работа пары с моментом $L$ при вращении $p, q, r$ равна $L p$ и т. д.

Выражение (1) может быть проверено еще следующим образом. Работа силы $\left(X_{r}, Y_{r}, Z_{r}\right.$ ), приложенной к точке $\left(x_{r}, y_{r}, z_{r}\right)$, равна
\[
\begin{array}{l}
X_{r} \delta x_{r}+Y_{r} \delta y_{r}+Z_{r} \delta z_{r}= \\
=X_{r}\left(l+q z_{r}-r y_{r}\right)+Y_{r}\left(m+r x_{r}-p z_{r}\right)+Z_{r}\left(n+p y_{r}-q x_{r}\right)= \\
=X_{r} l+Y_{r} m+Z_{r} n+\left(y_{r} Z_{r}-z_{r} Y_{r}\right) p+\left(z_{r} X_{r}-x_{r} Z_{r}\right) q+\left(x_{r} Y_{r}-y_{r} X_{r}\right) r= \\
=X_{r} i+Y_{r} m+Z_{r} n+L_{r} p+M_{r} q+N_{r} r .
\end{array}
\]

Беря сумму для всех приложенных сил, получим выражение (1).
Отсюда вытекает, что если силы находятся в равновесии, то общая работа будет равна нулю при всяком бесконечно малом перемещении Следовательно тогда будем иметь $P, Q, R, L, M, \mathrm{~N}=0$.

Обратно, если работа эта равна нулю при всяких бесконечно малых перемещениях, то система сил должна находиться в равновесии. Это принцип „возможных перемещений “, обобщенный на случай сил в трехмерном пространстве („Статика“, §51). Действительно для равновесия достаточно, чтобы общая работа сил была равна нулю при каждом из шести независимых перемещений, а именно:
\[
\left(l_{1}, m_{1}, n_{1}, p_{1}, q_{1}, r_{1}\right),\left(l_{2}, m_{2}, n_{2}, p_{2}, q_{2}, r_{2}\right), \ldots,\left(l_{6}, m_{6}, n_{6}, p_{6}, q_{6}, r_{6}\right) \text {. }
\]

Мы будем иметь тогда шесть уравнений следующего вида:
\[
L p_{s}+M q_{s}+N r_{s}+P l_{8}+Q m_{s}+R n_{s}=0,
\]

которые в общем случае несовместимы, если $L, M, N, P, Q, R$ не равны все нулю.

Выражение менее аналитическое по форме для работы динамы при данном винтовом перемещении может быть получено следующим образом. Пусть $A B$ – кратчайшее расстояние между осями динамического н кинематического винтов, а направления $A A^{\prime}$ и $B B^{\prime}$ представляют положительные направления этих осей Пусть динамический винт определяется силою $S$ в направлении $A A^{\prime}$ и парою сил около $A A^{\prime}$ с моментом $G$, в то время как кинематический винт сводится к вращению о вокруг $B B^{\prime}$ и поступательному перемещению і вдоль этой оси.

Пусть, далее, длина $A B$ равна $h$, и предположим, что правое вра: щение на угол $\theta$ приведет ось $A A^{\prime}$ в параллельное $B B^{\prime}$ положение. Эти два количества $h$ и $\theta$ определяют взаимное расположение обеих осей

Пара сил относительно оси, параллельной $B B^{\prime}$ имеет составляющий момент $G \cos \theta$. Проєкция перемещсния в точке $A$ вдоль $A A^{\prime}$ равна
\[
\tau \cos \theta-\omega h \sin \theta .
\]

Следовательно, работа будет равна,
\[
G \cdot \omega \cos \theta+S(=\cos \theta-\omega h \sin \theta) .
\]

Если – есть параметр динамического винта, а $\tilde{\omega}^{\prime}$ – параметр кинематического винта, то мы имеем:
\[
G=\tilde{\omega} S, \quad \tau=\tilde{\omega}^{\prime} \omega,
\]

и выражение для работы принимает вид:
\[
S \omega\left\{\left(\tilde{\omega}+\tilde{\omega}^{\prime}\right) \cos \theta-h \sin \theta\right\} .
\]

Множитель при Sю назван Руз-Еолем „виртуальньм коэфициентом “ обоих винтов.