1. Показать, что эллипсоид инерции тонкой оболочки, имеющей форму полушария, относящийся к ее полюсу, превращается в сферу.
2. Найти форму однородного массивного кругового конуса, эллипсоид инерции которого, относящийся к вершине, сводится к сфере.
(Радиус основания должен быть равен удвоенной высоте конуса.)
3. Найти форму эллипсоида инерции для ценгра прямоугольной однородной пластинки. То же для эллиптической пластинки.
4. Найти форму эллипсоида инерции для вершины однородного куба. То же для вершины однородного правильного тетраэдра.
5. Толщина тонкой оболочки, имеющей форму эллипсоида
\[
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
\]

пропорциональна в каждой точке этой поверхности длине перпендикуляра, опущенного из центра на касательную поскость в этой точке. Доказать, что квадрат радиуса инерции относительно оси $O x$ равен $\frac{1}{3}\left(b^{2}+c^{2}\right)$.
6. Длины ребер однородного массивного прямоугольного параллелепипеда соответственно равны $2 a, 2 b, 2 c$. Доказать, что квадрат радиуса инерции относительно диагонали равен
\[
\frac{2}{3} \frac{b^{2} c^{2}+c^{2} a^{2}+a^{2} b^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} .
\]
1) Этот результат был получен независимо друг от друга В. Томсоном и Таунсендом (Townsend) в $1846 \mathrm{r}$.

7. Радиус ребра плоско-выпуклой линзы равен $a$, а толщина ее в центре равна $t$. Показать, что радиусы инерции $k$ относительно ее оси и $k^{\prime}$ огносительно диаметра ее плоской поверхности определяются выражениями:
\[
k^{2}=\frac{10 a^{4}+5 a^{2} t^{2}+t^{4}}{10\left(3 a^{2}+t^{2}\right)}, \quad k^{2}=\frac{10 a^{4}+15 a^{2} t^{2}+7 t^{4}}{20\left(3 a^{2}+t^{2}\right)} .
\]
8. Плотность шара радиуса $a$ на расстоянии $r$ от центра дана выражением
\[
\rho=\rho_{0}\left(1-\beta \frac{r^{2}}{a^{2}}\right) .
\]

Доказать, что квадрат радиуса инерции $k$ относительно диаметра определяется из равепства
\[
k^{2}=\frac{14-10 \beta}{35-21 \beta} a^{2} .
\]

Если средняя плотность равна удвсенной повег-ностной плотности, то
\[
k^{2}=\frac{24}{70} a^{2} .
\]
9. Плотность шара радиуса $a$ на расстоянии $r$ оr центра равна
\[
\rho=\rho_{c} \frac{\sin \beta r}{\beta r} .
\]

Доказать, что квадрат радиуса инерции относительно диаметра равен
\[
\frac{\left(12 \beta a+2 \beta^{3} a^{3}\right) \cos \beta a+\left(6 \beta^{2} a^{2}-12\right) \sin \beta a}{3 \beta^{2}(\sin \beta a-\beta a \cos \beta a)} .
\]

Найти предел при бесконечно малом значении $\beta a$.
10. Дана плоская замкнутая фигура, ограничивающая конечную площадь с осью симметрии. Средний квадрат расстояний точек площади от этой оси равен $k^{2}$. Фигура вращается в пространстве около прямой, параллельной оси симметрии и находящейся на расстоянни $a$ от последней в плоскости фигуры. Показать, что квадрат радиуса инерции относительно оси вращения получающегося тела вращения кольцевой формы равен
\[
a^{2}+3 k^{2} \text {. }
\]
11. Тонкая полая и однородная оболочка, имеющая форму кольца, образуется вращением окружности радиуса $b$ около оси, лежащей в ее плоскости на расстоянии $a$ от ее центра. Доказать, что квадрат радиуса инерции относительно оси вращения равен
\[
a^{2}+\frac{3}{2} b^{2}
\]

Показать также, что квадрат радиуса инерции относительно диаметра окружности, которая проходит через центры поперечңых сечений кольца, равен
\[
\frac{1}{2} a^{2}+\frac{5}{4} b^{2}
\]
12. Главные оси инерции тела с массою $M$ относительно центра массы приняты в качестве осей координат. Уравнением эллипсоида инерции относительно точек $(f, g, h)$ будет:
\[
\begin{aligned}
\left\{A+M\left(g^{2}+h^{2}\right)\right\} & x^{2}+\left\{B+M\left(h^{2}+f^{2}\right)\right\} y^{2}+ \\
+ & \left\{C+M\left(f^{2}+g^{2}\right)\right\} z^{2}-2 M g h y z-2 M h f z x-2 M f g x y=\text { const. }
\end{aligned}
\]
13. Определить, при каких условиях и для каких точек эллипсоид инерции данного твердого тела превращается в сферу.
14. $O x, O y, O z$ – главные оси инерции, относядиеся к началу координат $O$. Через $O$ проходит другая система прямоугольных осей с направляющими косинусами соответственно равными $\left(l_{1} m_{1} n_{1}\right)\left(l_{2} m_{2} n_{2}\right)\left(l_{3} m_{3} n_{3}\right)$. Показать, что произведениями инерции относительной вгорой системы будут
\[
-\left(A l_{2} l_{3}+B m_{2} \cdot n_{3}+C n_{2} n_{3}\right) \text { и т. д. }
\]
15. Главные моменты инерции твердого тела, относящиеся к началу координат, равны $A, B, C$. К твердому телу присоединяется небольшая масса, коэфициенты инерции которой относительно главных осей, проходящих через начало координат, равны $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}, F^{\prime}, G^{\prime} H^{\prime}$.

Доказать, что новые главные моменты инерции приблизительно равны $A+A^{\prime}, B+B^{\prime}, C+C^{\prime}$. Показать, также, что направляющие косинусы тон главной оси, которая очень близка к оси $O X$, приблизительно равны
\[
\text { 1, }-\frac{H^{\prime}}{A-B},-\frac{C^{\prime}}{A-C} \text {. }
\]
16. Главные моменты одноосного тела равны $A, A, C$, а направляющие косинусы оси относительно произвольной системы прямоугольных осен, проходящих через центр тассы, равны $l, m, n$. Доказать, что моменты и произведенія инерции относительно этой системы осей соответственно равны:
\[
\begin{array}{c}
A+(C-A) l^{2}, A+(C-A) m^{2}, A+(C-A) n^{2} ; \\
(A-C) m n,(A-C) n l,(A-C) l m .
\end{array}
\]
17. Показать, что оси, проходящие через данную точку, относительно которых моменты инерции имеют данные значения, лежат на конусе второго порядка.
18. Доказать, что главные оси инерции для различных точек твердого тела образуют комплекс второго порядка (§9), уравнение которого в линейных координатах имеет вид:
\[
A l p+B m q+C n r=0,
\]

если прямоугольные оси координат совпадают с главными центральными осями инерции.
19. Взяв в качестве осей координат $O x^{\prime}, O y^{\prime}, O z^{\prime}$ сопряженные диаметры эллипсоида, который был определен в § 16, доказать справедливость равенств
\[
\begin{array}{l}
\sum\left(m y^{\prime} z^{\prime}\right)=0, \quad \sum\left(m z^{\prime} x^{\prime}\right)=0, \quad \sum\left(m x^{\prime} y^{\prime}\right)=0, \\
\frac{\sum\left(m x^{\prime 2}\right)}{\sum(m)}=a^{\prime 2}, \frac{\sum\left(m y^{\prime 2}\right)}{\sum(m)}=b^{\prime 2}, \quad \frac{\sum\left(m z^{\prime 2}\right)}{\sum(m)}=c^{\prime 2}, \\
\end{array}
\]

где $a^{\prime}, b^{\prime}, c^{\prime}$ обозначают соответственно длины сопряженных полудиаметров.
20. Показать, что прямые, проведенные через какую-либо точку $O$ в твердом теле и являющиеся в то же врекя главными осями инерции для одной какойллибо из своих точек, лежат на конусе, уравнение которого, отнесеннөе к главным осям в точке $O$, имеет вид:
\[
(B-C) f y z+(C-A) g z x+(A-B) h x y=0,
\]

где $f, g, h$-координаты центра масс.