Имеется, однако, случай особенно простой, а именно – движение однородного шара или, в более общем случае, тела кинетически симметричного относительно центра масс.
1) Обозначение $M_{0}$ со значком внизу введено для отличия от момента $M$ в уравнениях (2). Где исключена возиожность смешения, мы опустим подстрочный знак.

В этом случае мы имеем:
\[
A=B=C=I, F=G=H=0,
\]

где $I$-момент инерции относительно любого диаметра.
В качестве примера рассмотрии шар, катящийся по плоскости, и предположим, что внешние силы (кроме реакций), приложенные к телу, приводятся к одной силе ( $X, Y, Z$ ), приложенной к центру шара. Оси $O X$ и $O y$ проводим параллельно плоскости, по которой катится шар, и обозначаем соответствующие им составляющие силы реакции через $F_{1}$ и $F_{2}$, а через $R$ составляющую нормальную к плоскости. Если $x$ и $y$-координаты центра шара, то мы получаем уравнения:
\[
M \ddot{x}=X+F_{1}, M \ddot{y}=Y+F_{2}, 0=Z+R .
\]

Обозначая через $a$ радиус шара, мы получим еще следующие уравнения:
\[
I \dot{p}=F_{2} a, I \dot{q}=-F_{1} a, \quad \dot{r}=0 .
\]

Таким образом угловая скорость $r$ вращения вокруг нормали к плоскости постоянна. Ввиду того, что та точка поверхности шара, которая в данный момент касается плоскости, имеет скорость, равную нулю, мы получаем дополнительные кинематические условия:
\[
\begin{array}{l}
\dot{x}=q a, \\
\dot{y}=-p a .
\end{array}
\]

Эти условия получаются из рассмотрения вращения шара вокруг осей, проходящих через точку касания и параллельных осям $O x$ и $O y$.
Исключая из этих уравнений $p$ и $q$, мы получим следующее:
\[
\left(M+\frac{I}{a^{2}}\right) \ddot{x}=X, \quad\left(M+\frac{I}{a^{2}}\right) \ddot{y}=Y .
\]

Следовательно, центр масс имеет такое же ускорение, какое он имел бы при движении шара по совершенно гладкой плоскости, но если бы при этом масса шара увеличилась на $\frac{I}{a^{2}}$ или на $\frac{M k^{2}}{a^{2}}$, где через $k$ обозначен радиус инерции шара относительно диаметра.

Так, шар, катящийся под действием тяжести по плоскости, наклоненной к горизонту под углом $\alpha$, будет иметь постоянное ускорение, равное
\[
\frac{a^{2}}{k^{2}+a^{2}} g \sin \alpha,
\]

в направлении наибольшего ската. В общем случае траектория центра шара будет представлять собою параболу. Если шар однородный, то
\[
k^{2}=\frac{2}{5} a^{2},
\]

и ускорение равно
\[
\frac{5}{7} \cdot g \sin \alpha .
\]

Если шар не только катится, но и может скользить по плоскости, уравнения (1) и (2) остаются в силе, но чисто геометрическое условие (3) должно быть заменено другим
\[
\dot{x}-a q=V \cos \theta, \quad \dot{y}+a p=V \sin 0,
\]

где $V$ есть скорость скольжения шарі, т. е. скорость той точки его поверхности, которая в данный момент касается плоскости, а $\theta$ – угол между направлением скорости $V$ и осью $O x$.

Предположим для упрощения, что плоскость горизонтальна и что других сил, кроме силы тяжести и трения, нет.
мы тогда имеем:
\[
X=Y=0, \quad Z=-M g
\]

и, следовательно,
\[
R=M g .
\]

Динамические уравнения сведутся к следующим:
\[
M \ddot{x}=F_{1}, \quad M \ddot{y}=F_{2} \quad \text { и } \quad \dot{p}=F_{2} a, \quad \dot{q}=-F_{1} a,
\]

огкуда
\[
\ddot{x}-a \dot{q}=\left(1+\frac{a^{2}}{k^{2}}\right) \frac{F_{1}}{M}, \quad \ddot{y}+a \dot{p}=\left(1+\frac{a^{2}}{k^{2}}\right) \frac{F_{2}}{M} .
\]

Если мы обозначим равнодействукщую сил трения через $S$ и предположим, что ее направление противоположно направлению, в котором происходит скольжение, то получим:
\[
F_{1}=-S \cos \theta, \quad F_{2}=-S \sin \theta .
\]

Из (6) и (8) в таком случае выводнм:
\[
\left.\begin{array}{c}
\dot{V} \cos \theta-V \sin \theta \dot{\theta}=-\left(1+\frac{a^{2}}{k^{2}}\right) \frac{S}{M} \cos \theta, \\
\dot{V} \sin \theta+V \cos \dot{\theta}=-\left(1+\frac{a^{2}}{k^{2}}\right) \frac{S}{M} \sin \theta .
\end{array}\right\}
\]

Следовательно $\dot{\theta}=0$, т. е. направление скольжения остается постоянным, и далее
\[
\dot{V}=-\left(1+\frac{a^{2}}{k^{2}}\right) \frac{S}{M} .
\]

Для движения центра мы имеем уравнения:
\[
\ddot{x}=-\frac{S}{M} \cos \theta, \quad \ddot{y}=-\frac{S}{M} \sin \theta .
\]

Таким образом, если $S$ постоянно, то ускорение ценгра тоже остается постоянным по величине и направлению, и траектория центра представляет параболу. Принимая обычный закон трения, мы имеем $S=\mu M g$ и, следовательно:
\[
\dot{V}=-\mu\left(1+\frac{a^{2}}{k^{2}}\right) g .
\]

Скольжение будет продолжаться только до тех пор, пока $V$ положительно. Если начальное его значение равно $V_{0}$, то $V$ будет равно нулю через промежуток времени, равный
\[
\boldsymbol{t}=\frac{k^{2}}{\mu\left(k^{2}+a^{2}\right)} \cdot \frac{V_{0}}{g} .
\]

Для движения биллиардного шара значение постоянных и $V_{0}$ таковы, что время скольжения шара очень невелико.