Если при решении предыдущей задачи принять во внимание силу тяжести, то трудности будут даже большие, чем в задаче о колебаниях сферического маятника („Динамика“, § 103).

Приближенное решение может быть, однако, получено в случае, когда подвижной шар слегка выведен из положения равновесия и когда он касается неподвижной сферической поверхности в наивысшей точке последней со стороны выпуклости (или наинизшей со стороны вогнутости) и в то же время вращается вокруг вертикальной оси с данной угловой скоростью $n$.

Ось $O z$ направим по вертикали вверх. Количества $x, y, p, q, X, Y$ по крайней мере в начале движения будут малыми, в то же время мы будем иметь приближенно:
\[
z=c, \quad r=n \text { и } Z=-M g .
\]

В таком случае, вводя члены, соответствующие силе тяжести в уравнения (1) и (2) $\S 40$, и пренебрегая малыми количествами второго порядка, мы получим:
\[
\begin{array}{c}
M \ddot{x}=X, \quad M \ddot{y}=Y . \\
\dot{\rho}=a Y-\frac{M g a}{c} y, \quad \dot{q}=-a X+\frac{M g a}{c} x .
\end{array}
\]

Кинематические соотношения прим $/$ т вид:
\[
\dot{x}=a q-\frac{n a}{c} y, \quad \dot{y}=-a p+\frac{n a}{c} x .
\]

Исключая $X, Y, p$ и $q$, мы найдем.
\[
\left.\begin{array}{l}
\left(k^{2}+a^{2}\right) \ddot{x}+\frac{k^{2} a}{c} n \dot{y}-\frac{g a^{2}}{c} x=0, \\
\left(k^{2}+a^{2}\right) \ddot{y}-\frac{k^{2} a}{c} n \dot{x}-\frac{g a^{2}}{c} y=0,
\end{array}\right\}
\]

ураввения, которые приводятся к одному:
\[
\left(k^{2}+a^{2}\right) \ddot{\zeta}-i \frac{k^{2} a}{c} n \dot{\zeta}=\frac{g a^{2}}{c} \zeta=0,
\]

где, как и раньше, $\zeta=x+i y$.
Предполагая, что $\zeta$ изменяется’ с течением времени как $e^{\text {int } t}$ найдем:
\[
\left(k^{2}+a^{2}\right) \lambda^{2}-\frac{k^{2} a}{c} n \lambda+\frac{g a^{2}}{c}=0 .
\]

Для периодических решений $\lambda$ должно быть вещественным.
Для этого необходимо, чтобы
\[
n^{2}>\frac{4 g c\left(k^{2}+a^{2}\right)}{k^{4}} .
\]

Если угловая скорость шара, вращающегося вокруг вертикальной оси на верху неподвижной сферы, превосходит указанный предел, то положение подвижного шара будет, в известном смысле, устойчивым. В случае шара вращающегося на дне сферической чаши, $c$ должно быть взято с обратным знаком, а потому условие устойчивости всегда выполняется.

Если предположить, что корни $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ ураввения (7) вещественны, то общее решение уравнения (6) принимает вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
x=H_{1} \cos \left(\lambda_{1} t+\varepsilon_{1}\right)+H_{2} \cos \left(\lambda_{2} t+\varepsilon_{2}\right), \\
y=H_{1} \sin \left(\lambda_{1} t+\varepsilon_{1}\right)+H_{2} \sin \left(\lambda_{2} t+\varepsilon_{2}\right),
\end{array}\right\}
\]

где $H_{1}, H_{2}, \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}$ – произвольные постоянные.

Почти плоская возмущенная траектория центра $G$ представляет эпициклоиду. Если $c$ в уравнении (7) положительно, то $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ одного знака, и эпициклоида – „пямая“. В обратном случае $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ будут разных знаков и эпициклоида – \”обратная“ (\”Динамика“, § 23).

Когда корни (7) комплексны, они будут вида $\mu+i v$ : $x$ и у будут представлены в виде суммы членов типа
\[
e^{ \pm v t} \cos \mu t \quad \text { и } \quad c^{ \pm v t} \sin \mu t .
\]

Члены, имеющие верхний знак в показательных функциях, будут непрерывно возрастать в пределах действительности приближений, на которых основано настоящее исследование. Таким образом комплексные значения корней соответствуют случаю неустойчивости.

Следует, однако, заметить, что угтойчивость, приписанная нами шару; вращающемуся наверху неподвижной сферической поверхности, при соблюдении условия (8), есть устоИчивость особого рода. В отличие от статической она будет уменьшаться от денствия диссипативных сил ${ }^{1}$ ), но мало.

Влияние трения, которое постепенно уменьшает угловую скорость, пока она не опустится ниже предела (8), вполне понятно, но здесь существует, практически, неустойчивость другото рода, независимо от указанного обстоятельства.

Предположим в виде примера, что существуют силы трения, пропорциональные скорости, направления действия которых проходят через центр сферы, следовательно, эти силы непосредственно не будут влиять на вращение. Уравнения, соответствующие уравнениям (5), будут иметь следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{l}
\ddot{x}+k \dot{x}+\beta \dot{y}-m^{2} x=0, \\
\ddot{y}+k \dot{y}-\beta \dot{x}-m^{2} y=0 .
\end{array}\right\}
\]

Они могут быть сведены к одному:
\[
\ddot{\zeta}+k \dot{\zeta}-i \beta \dot{\zeta}-m^{2 r}=0 .
\]

Предполагая, что $\zeta$ изменяется, как $e^{i \lambda t}$, мы получим:
\[
\lambda^{2}-i k \lambda-\beta \lambda+m^{2}=0,
\]

что может быть написано в следующеи виде:
\[
\left(\lambda-\lambda_{1}\right)\left(\lambda-\lambda_{2}\right)=i k \lambda,
\]

где $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ – корни уравнения
\[
\lambda^{2}-\beta \lambda+m^{2}=0,
\]

которые могут быть предположены вещественными. Нам достаточно будет рассмотреть тот случай, когда коэфициент трения $k$ мал по сравнению с $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ Корни уравнения (13) будут иметь приближенные значения:
\[
\lambda_{1}+\frac{i k \lambda_{1}}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}, \quad \lambda_{2}+\frac{i k \lambda_{2}}{\lambda_{2}-\lambda_{1}} .
\]

В рассматриваемом случае $\lambda_{1}$ и $\lambda_{2}$ одного знака, так что мнимая часть одного из корней отрицательна. Следовательно, когда $x$ и $у$ будут предста-
1) Так называемые силы сопротивлений, вызывающие рассеяние энергии движущейся системы. Они, как, например, в случае вязкого трения, могут зависеть от скоростей, но должно замегить, что не всякие силы, зависящие от скоростей, суть диссипативные. Прим. ред.

влены в вещественном виде, то один из членов обоих выражений будет иметь множителем показательную функцию, беспредельно возрастающую со временем $t$.

Таким образом одно из двух круговых движений, наложенных друг на друга в выражениях (9), постепенно затухает, тогда как амплитуда другого беспредельно растет. Движущийся шар падает все ниже и ниже, удаляясь от равновесного положения и следуя по все расширяющейся спирали.

Исследование другой задачи о вращении шара на дне сферической чаши показывает, что оба круговых движения постепенно затухают.

Различие, проведенное нами между „временной и „практической а устойчивостью, встретится еще в различных задачах, которые мы будем рассматривать ниже ( $\S 98$ ).