Если бы мы предполагали, что можно рассматривать твердое тело, как систему отдельных материальных точек, взаимные расстояния которых остаются неизменными, то из этого непосредственно вытекало бы следствие, что приращение кинетической энергии за любой промежуток времени равняется полной работе за это время внешних сил, так как работа сил

Если же мы, ‘днако, в качестве основания теории пг имем принцип Даламбера или просто постулируем закон количества движения и закон момента количеств движения (§37), то становится логически необходимым дать этой теореме особое доказательство.
Для кинетической энергии мы можем написать выражение:
\[
T=\frac{1}{2} M_{0}\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)+\frac{1}{2} \sum\left\{m\left(\dot{\alpha}^{2}+\dot{\beta}^{2}+\dot{\gamma}^{2}\right)\right\},
\]

где ( $u, v, w)$ – скорости центра масс, а $\alpha, \beta, \gamma$ координаты точек системы относительно осей, проходящих через центр масс.

Первый член представляет энергию всей массы $M_{0}$, сосредоточенной в центре масс и движущейся со скоростью этой точки, а второй член представляет энергию относительного движения (§ 32 ):
Уравнения движения могут быть написаны в таком виде:
\[
\begin{array}{c}
M_{0} \dot{u}=X, \quad M_{0} \dot{v}=Y, \quad M_{0} \dot{w}=Z, \\
\boldsymbol{\Sigma} m(\beta \ddot{\gamma}-\gamma \ddot{\beta})=L, \quad \boldsymbol{\Sigma} m(\gamma \ddot{\alpha}-\ddot{\alpha})=M, \quad \boldsymbol{\Sigma} m(\alpha \ddot{\beta}-\beta \ddot{\alpha})=N .
\end{array}
\]

Обозначая через ( $p, q, r$ ) угловые єкорости вращения и умножая уравнения на $u, v, w, p, q, r$, мы получим:
\[
\begin{array}{r}
M_{0}(u \dot{u}+\dot{v}+w \dot{\omega})+\sum m\{(q \gamma-r \beta) \ddot{\alpha}+(r \alpha-p \gamma) \ddot{\beta}+(p \beta-q \alpha) \ddot{\gamma}\}= \\
=X u+Y v+Z w+L p+M q+N r .
\end{array}
\]

Так как на основании сказанного в § 28
\[
q \gamma-r \beta=\dot{\alpha}, \quad r \alpha-p \gamma=\dot{\beta}, \quad p \beta-q \alpha=\dot{\gamma},
\]

то написанное равенство равносильно следующему:
\[
\frac{d T}{d t}=X u+Y v+Z w+L p+M q+N r .
\]

Умножая вторую часть равенства на $\delta t$, мы получаем работу внешних сил за промежуток времени $\delta t$.

Таким образом, интегрируя для конечного интервала времени, мы получим доказательство предложенной теоремы.

Если внешние силы отсутствуют, то $\frac{d T}{d t}=0$ и кинетическая энергия остается постоянной

Мы замечаем далее, что дећнствие внешних сил на обе части кинетической энергии твердого тела независимо одно от другого. Так,
\[
\frac{d}{d t} \cdot \frac{1}{2} M\left(u^{2}+v^{2}+w^{2}\right)=X u+Y v+Z w,
\]
т. е. энергия поступательного движения (как мы можем ее назвать) зависит только от внешних сил, точку приложения которых мы можем перенести в центр масс. Далее
\[
\frac{d}{d t} \cdot \frac{1}{2} \sum m\left(\dot{\alpha}^{2}+\dot{\beta}^{2}+\dot{\gamma}^{2}\right)=L p+M q+N r,
\]
т. е. энергия врящения зависит только от тех внешних сил, момент которых относительно центра масс не равен нулю. Если таких сил нет, то энергия вращения остается постоянной