В предыдущих примерах метод исследования до известной степени зависел от особых обстоятельств в каждом отдельном случае. Может представить ценность и вывод общей схемы уравнении, применимых к любому случаю тела, движущегося под действием силы тяжести и находящегося в соприкоснөвении с горизонтальной плоскостью.
Приняв главные оси, проходяшие через центр масс $G$ за оси координат, мы имеем в первую очередь уравнения Эилера:
\[
\left.\begin{array}{rl}
A \dot{p}-(B-C) q r & =y Z-z Y, \\
B \dot{q}-(C-A) r p & =z X-x Z, \\
C r-(A-B) p q & =x Y-y X
\end{array}\right\}
\]
где $x, y, z$ означают координаты точки соприкосновения, а $X, Y, Z$ компоненты реакции, действующей в той же точке. Далее, обозначив через ( $u, v, w$ ) скорость точки $G$, будем иметь:
\[
\left.\begin{array}{l}
M(\dot{u}-r v+q w)=X+M g l, \\
M(\dot{v}-p w+r u)=Y+M g m, \\
M(\dot{w}-q u+p v)=Z+M g n,
\end{array}\right\}
\]
где $l, m, n$ означают направляющие косинусы вертикали, направленной вниз. Так как это вместе с тем является направлением нормали к поверхности твердого тела в точке соприкосновения, то $l, m, n$ будут известными функциями от $x, y, z$, которые, кроме того, связаны уравнением поверхности.
Так как вектор ( $l, m, n$ ) определяет неподвижное направление в пространстве, то на основании § 63 имеем:
\[
\left.\begin{array}{rl}
i-r m+q n & =0, \\
\dot{m}-p n+r l & =0, \\
\dot{n}-q l+p m & =0 .
\end{array}\right\}
\]
Если тело катится без скольжения, то скорость точки, в которой происходит соприкосновение с плоскостью, должна быть равна нулю, таким образом
\[
\left.\begin{array}{r}
u-r y+q z=0 \\
v-p z+r x=0 \\
w-q x+p y=0 .
\end{array}\right\}
\]
Если же плоскость шероховата, то вместо (4) будем иметь равенства
\[
X=l R, \quad Y=m R, \quad Z=n R,
\]
(где $R$ озпачает нормальное давление) и кинематическое соотношение
\[
l(u-r y+q z)+m(v-p z+r x)+n(w-q x+p y)=0 .
\]
Легко убедиться, что задача, таким образом формулированная, является математически определенной в каждом из рассмотренных выше случаев.
Общее исследование уравнений выходит из рамок разбираемых вопросов, но задачу о возмущении установившегося движения можно все же в большей или меньшей степени продвннуть дальше. Например, если тело первоначаяьно вращалось около главной оси Gz, которая была вертикальна и совпадала с нормалью, проведенной через точку касания, то при незначительном возмущении этого состояния величины
\[
p, q, x, y, X, Y, u, v, l, m
\]
будут малы. Если пренебречь членами второго порядка, то третье из уравнений (1) пскажет, что $\dot{r}=0$, откуда $r=$ const. Следовательно, мы можем положить:
\[
w=0, \quad n=1, \quad Z=-M g, \quad z=\text { const. }=h .
\]
Если линии кривизны на поверхности тела, проведенные через первоначальную точку касания, параллельны осям $G x$ и $G y$, то уравнение поверхности вблизи этой точки будет иметь вид:
\[
z=h-\frac{1}{2}\left(\alpha x^{2}+\beta y^{2}\right),
\]
откуда приближенно имеем:
\[
l=\alpha x, \quad m=\beta y .
\]
Уравнения получатся теперь линейными. Результаты для одного или двух случаев даны в примерах в конце этой главы.
