Формула (5) $\S 74$ приводит к важному взаимному соотношению между двумя любыми состояниями движения, исходящими из одной и той же конфигурации $\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}\right.$ ). Обозначим скорости и количества двнжения в одном из этих состояний как выше, а те же величины для другого состояния отметим штрихами. Рассматриваемое соотношение имеет вид:
\[
p_{1} \dot{q}_{1}^{\prime}+p_{2} \dot{q}_{2}^{\prime}+\ldots+p_{n} \dot{q}_{n}^{\prime}=p_{1}^{\prime} \dot{q}_{1}+p_{2}^{\prime} \dot{q}_{2}+\ldots+\dot{\rho}_{n^{\prime}}^{\prime} \dot{q}_{n} .
\]
Действительно, каждое из этих выражений равно следующей величине
\[
a_{11} \dot{q}_{1} \dot{q}_{1}^{\prime}+a_{22} \dot{q}_{2} \dot{q}_{2}^{\prime}+\ldots+a_{12}\left(\dot{q}_{1} \dot{q}_{2}^{\prime}+\dot{q}_{1}^{\prime} \dot{q}_{2}\right)+\ldots
\]
Если мы предположим, что все составляющие количества движения за исключением тех, которые соответствуют координатам $q_{r}, q_{s}$, обращаются в нуль, то получим:
\[
p_{r} \dot{q}_{r}^{\prime}+p_{s} \dot{q}_{s}^{\prime}=p_{r}^{\prime} \dot{q}_{r}+p_{s}^{\prime} \dot{q}_{s^{.}}
\]
Если, далее, мы положим $p_{\varepsilon}=0, p_{r}^{\prime}=0$, то будем иметь
\[
\frac{\dot{q}_{s}}{p_{r}}=\frac{\dot{q}_{r}^{\prime}}{p_{s}^{\prime}} .
\]
Интерпретация этого результата наиболее проста, когда координаты $q_{r}, q_{s}$ имеют одинаковый характер, например, обе являются линенными размерами или обе углами. Тогда теорема утверждает, что скорость типа $s$, создаваемая импульсом типа $r$, равна скорости типа $r$, создаваемой равным импульсом типа $s$.
Пример 1. Предположим, что мы илісем ряд стержней $A B, B C$, $C D, \ldots$, свободно соединенных в точках $B, C, D, \ldots$, одну из которых можно считать неподвижной. Для простоты мы предположим, что стержни расположены вдоль одной прямой линии. За координаты $q_{r}, q_{8}$ можно взять перемещения, нерпендикулярные к стержням в двух любых точках $P, Q$ системы. Тогда теорема утверждает, что скорость точки $Q$, создаваемая импульсом, действующим в точке $P$, равна скорости точки $P$, создаваемой равным импульсом, приложенным в точке $Q$. Если за координату возьмем угол, то угловая скорость стержня $H K$, создаваемая импульсивным моментом, приложенным к другому стержню $B C$, равна угловой скорости стержня $B C$, создаваемой импуиьсивным моментом, приложенным к стержню $\mathrm{HK}$. Наконец, в качестве примера с координатами разного типа заметим, что когда импульс $\xi$, приложенный к какой-либо точке $P$ стержня $B C$, сообщает угловую скорость $\omega$ стержню $H K$, то импульсивный момент $\xi a$, приложенный к $H K$, сообцил бы точке $P$ скорость ш $a$ (.Динамика;, § 108).
Пример 2. Если импульсивная пара с моментом $H$ относительно оси $(l, m, n)$, приложен и к к свободному твердому телу, сообщает ему угловую скорость, составляющая которой вдоль оси $\left(l^{\prime}, m^{\prime}, n^{\prime}\right)$ равна $\omega$, то момент той же величины относительно оси ( $l^{\prime}, m^{\prime}, n^{\prime}$ ) сообщит равную по величине угловую скорость ш около оси $(l, m, n)$.
Если главные центральные оси принять за оси кс ор цинат, то получится соотношение
\[
\omega=H\left(\frac{l l^{\prime}}{A}+\frac{m m^{\prime}}{B}+\frac{n n^{\prime}}{C}\right)
\]
Симметрия его подтверждает теорему.
