§ 3.13. Приближение возраста

При решении некоторых задач нейтронной физики используют приближенный метод, называемый приближением возраста, который по смыслу близок к приближению непрерывного замедления [6, с. 151; 28, с. 402; 31, с. 233; 63, с. 267; 66, с. 189]. Рассмотрим кинетическое уравнение в плоской геометрии (2.48), предполагая, что частицы в веществе могут поглощаться и испытывать упругое рассеяние. От переменной перейдем к летаргии и (§ 1.2) и запишем кинетическое уравнение в виде

с дифференциальным сечением (1.12), (1.13).

Угловую часть дифференциального сечения разложим по полиномам Лежандра (§ 3.3):

подставим это разложение в интеграл столкновений уравнения (3.126) и проинтегрируем по с учетом теоремы сложения для (3.43). Тогда интегральный член кинетического уравнения примет вид

где коэффициенты разложения дифференциальной плотности потока по полиномам Лежандра.

Уравнения для функции можно получить, как и в § 3.4, умножая все члены (3.126) на и интегрируя по В -приближении эта система уравнений имеет вид

Пределы интегрирования по переменной и обсуждаются :

Подставим (1.13) в (3.127) и, предполагая, что дифференциальная по летаргии плотность рассеяний мало меняется в интервале (3.129), разложим ее в ряд, пренебрегая членами второго порядка:

Как и в § 2.7, интеграл столкновений при этом запишется в виде суммы двух членов. Первый из них

легко вычисляется и равен Интеграл во втором члене

совпадает со средней логарифмической потерей энергии [см. (1.9)]

Действительно, производя в последнем интеграле замену переменных и учигывая (1.13), получаем

Таким образом, интеграл столкновений уравнения (3.127) приводится к виду

а само уравнение записывается как

Аналогичное преобразование можно сделать в интегральном члене уравнения (3.128). Однако для справедливости -приближения необходимо, чтобы выполнялось неравенство поэтому в разложении величины можно удержать лишь первый член, который равен Его можно вынести из-под знака интеграла. Оставшееся выражение

с учетом (1.6) и (1.13) легко вычисляется и оказывается равным Отметим, что интеграл (3.132) представляет собой средний косинус угла рассеяния (1.7):

В этом можно убедиться, переходя в (3.133) от интегрирования по направлениям к интегрированию по летаргии. Таким образом, уравнение (3.128) принимает вид

где транспортное сечение (см. § 3.4).

Для изотропного источника поэтому коэффициенты разложения по полиномам Лежандра

Подставляя (3.135) в (3.131) и (3.134) и исключая получаем

где коэффициент диффузии. Уравнение (3.136) упрощается, если от перейти к плотности замедления (см. § 1.3)

и произвести замену переменных:

Тогда уравнение (3.136) примет вид

где длина диффузии (см. § 3.5).

Переменную введенную формулой (3.138), называют возрастом, а уравнением возраста (уравнением Ферми). Уравнение (3.139) можно упростить подстановкой

которая приводит к уравнению теплопроводности

Для плоского моноэнергетического источника, когда правая часть (3.141) имеет вид Уравнение (3.141) с такой функцией плотности источников эквивалентно однородному уравнению с начальным условием Его легко решить с помощью преобразования Лапласа Для этого подействуем на все члены уравнения оператором и получим следующее уравнение для трансформанты Сравнивая это уравнение с уравнением диффузии в плоской геометрии и используя (3.64), получаем Обратное преобразование Лапласа дает (при с

Замена переменных приводит этот интеграл к виду

Использовав формулу

получим

Формулы (3.134), (3.137), (3.140) и (3.143) позволяют записать в явном виде выражения для нулевой и первой трансформант функции

Используя (3.143), можно уточнить физический смысл параметра Для простоты предположим, что поглощение отсутствует. Тогда Вычислим с помощью (3.143) средний квадрат расстояния между местом рождения нейтрона и местом, где он достигает определенной энергии:

Таким образом, возраст нейтрона характеризует средний квадрат удаления нейтрона от источника.