Глава 2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ПЕРЕНОСА
§ 2.1. Кинетическое уравнение
Основная задача теории прохождения частиц через вещество (теории переноса) заключается в вычислении показаний детектора, помещенного в поле излучения, которое создается заданным источником. В соответствии с (1.29) и (1.35) для решения этой задачи необходимо знать дифференциальную плотность потока или сопряженную функцию. В этом параграфе приведен вывод кинетического уравнения, связывающего дифференциальную плотность потока с распределением источников и макроскопическими сечениями взаимодействия частиц с веществом.
Рассмотрим сначала среду без рассеяния, т. е. положим
Выделим около точки
малый объем
в котором в момент
находится
частиц с энергией
и направлением движения
. За время
число частиц в объеме
вообше говоря, изменится: часть из них выйдет за пределы этого объема или, испытав там столкновение, поглотится. Но за это же время внутрь объема войдут частицы, находившиеся ранее за его пределами, а также появятся новые частицы, испущенные источником (если он имеется в объеме). Легко видеть, что для частцд с энергией
и направлением движения
, находящихся в объеме
справедливо следующее условие баланса:
Согласно § 1.1, 1.3:
Подставив эти слагаемые в соотношение (2.1), получим
Разделим обе части этого равенства на
учитывая, что
а
найдем
Выразив здесь
через
с помощью формулы (1.15), получим неоднородное дифференциальное уравнение в частных производных относительно Ф:
Если в среде наряду с поглощением происходит и рассеяние частиц, соотношение (2.1) несколько изменяется. Действительно, убыль числа частиц, имеющих направление движения
и энергию
в объеме
обусловлена теперь не только выходом их из этого объема и поглощением в нем, но и рассеянием этих частиц в объеме
с изменением параметров
Следовательно, из правой части (2.1) следует вычесть величину
С другой стороны, наличие рассеяния приведет к увеличению числа частиц, возникающих в
за счет процессов рассеяния в этом объеме с изменением параметров
Соответствующее слагаемое в условии баланса, согласно (1.21), имеет вид:
С учетом этих замечаний из условия баланса получается интегро-дифференциальное кинетическое уравнение (уравнение Больцмана):
которое описывает перенос частиц в среде с учетом рассеяния [13, с. 211; 28, с. 28].
Если частицы распространяются в среде, где возможна реакция деления, в кинетическом уравнении появляется дополнительный член
соответствующий рождению вторичных частиц.
В стационарных задачах, когда
не зависит от времени, уравнение (2.7) упрощается: