§ 9. Плотности, сосредоточенные на отрезке

Рассмотрим еще один важный класс плотностей и найдем устойчивую в нем плотность распределения вероятностей.

Рассмотрим класс плотностей, сосредоточенных в основном на отрезке т. е. класс плотностей для элементов которого выполняется условие

где известный параметр, задающий класс

Покажем, что устойчивой в этом классе будет плотность

где параметры связаны с константой задающей класс соотношениями

Не ограничивая общности, будем полагать (случай приводится к случаю подстановкой Таким образом, задача состоит в том, чтобы показать, что в классе плотностей, удовлетворяющих условию

устойчивой будет плотность

Для того чтобы показать устойчивость в плотности (4.57), достаточно показать, что минимизирует в функционал Фишера

Однако мы не будем непосредственно минимизировать функционал (4.58), а воспользуемся тем, что необходимым и достаточным условием того, что есть точка мини

мума (4.58) является неотрицательность в функционала

Функционал есть производная по параметру 8 выражения

вычисленная в точке т. е.

Неотрицательность производной в точке для плотностей (по любому направлению в означает, что на достигается минимум

Итак, проверим неотрицательность выражения силу четности функции достаточно проверить положительность ее на луче Для этого найдем, что

Подставим (4.61) в (4.59) и произведем вычисления

Преобразуем выражение (4.62):

Таким образом, выражение неотрицательно для всех для которых

т. е. для всех функций из