§ П.5. Оценка величины Г

Оценим величину

где — пробегает значения, удовлетворяющие неравенствам

или, что то же самое, неравенствам

произвольные положительные целые числа. Разложим Г на два слагаемых

Введем обозначения

где

Далее обозначим

Очевидно, что имеет место соотношение

Далее из непосредственно следует, что при монотонно убывает. Поэтому из следует неравенство

Далее, по определению имеем

Применяя последовательно это соотношение, получим для произвольных удовлетворяющих условию Т

Далее, поскольку то

где любое целое число, меньшее, чем

Положим

Тогда

При этом, очевидно, пока Т справедливо

Для аппроксимации исследуем функцию

считая, что а и больше нуля.

При

Далее имеем

Отсюда следует, что при

Соответственно при выполнится неравенство

Возвращаясь к получаем, что при

Оценим теперь

считая, что :

Возвращаясь к получим

здесь любое число, меньшее Поэтому для можно положить Для нечетного и для четного, получив более сильную оценку. Суммируя

далее арифметическую прогрессию, получим

Наконец, есть при первом целом таком, что

откуда

Точно так же оценивается величина так как распределение симметрично относительно точки Таким образом,

Правая часть достигает максимума при и, следовательно,

При оценка тривиальна, поскольку левая часть неравенства не превосходит единицу, а правая всегда больше единицы.

Таким образом, оценка справедлива при любых целых в пределах