اشتقاق (أمثلة)

الصفحة الرئيسية: اشتقاق

أمثلة عملية للتدريب على الإشتقاق..

مثال 1

لنعتبر $f(x)=5$ :

$f'(x)=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {5-5}{h}}=0$

حل آخر باستخدام قواعد المشتقة

$f'(5)=0$

مثال 2

لنعتبر $f(x)=2x-3$ :

$f'(4)\,$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(4+h)-f(4)}{h}}$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2(4+h)-3-(2\cdot 4-3)}{h}}$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {8+2h-3-8+3}{h}}$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2h}{h}}=2$

حل آخر باستخدام قواعد المشتقة

$f'(x)=2x-3$

$f(x)=2-0$ $f'(x)=2+0$

$f(x)(4)+2$ $f'(4)=2$

مثال 3

لنعتبر $f(x)=x^{2}\,$ :

$f'(x)\,$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}$

$=\lim _{h\rightarrow 0}(2x+h)=2x$

حل اخر باستخدام قواعد المشتقة

$f'(x)=2x$

مثال 4

لنعتبر $f(x)={\sqrt {x}}$ :

$f'(x)\,$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {({\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {x+h-x}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}$

$={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$

حل آخر باستخدام قواعد المشتقة

$f'(x)=x^{1/2}$

$f'(x)={\frac {1}{2}}x^{-1/2}$

$f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$

مثال 5

$f''(x)\,$ $=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\frac {1}{2{\sqrt {x+h}}}}-{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}{h}}$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\left({\frac {1}{2{\sqrt {x+h}}}}-{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\right)(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}{h(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}}$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\frac {2{\sqrt {x}}}{2{\sqrt {x+h}}}}-{\frac {2{\sqrt {x+h}}}{2{\sqrt {x}}}}}{h(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}}$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {{\frac {x}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x+h}}}}-{\frac {x+h}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x+h}}}}}{h(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}}$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\frac {-h}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x+h}}}}{h(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}}$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {-1}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x+h}}(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}}$

$=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {-1}{2{\sqrt {x}}(x+h)+2x{\sqrt {x+h}}}}$

$={\frac {-1}{4x{\sqrt {x}}}}$

$={\frac {1}{4x{\sqrt {x}}}}$

مثال 6

لنعتبر $f(x)=e^{xsin^{2}x}\,$ :

$f'(x)=e^{xsin^{2}x}(xsin^{2}x)'=e^{xsin^{2}x}(sin^{2}x+2xsinxcosx)\,$

مثال 7

لنعتبر $f(x)=arcsin{\frac {1+x}{1-x}}\,$ :

$f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1+x}{1-x}})^{2}}}}({\frac {1+x}{1-x}})'={\frac {1}{(1-x){\sqrt {-x}}}}$

مثال 8

لنعتبر $f(x)=(x+\sin {x})$ :

$f'(x)=1+\cos {x}$

بوابة رياضيات

ع ن ت مواضيع التحليل الرياضي
ما قبل حساب التفاضل والتكامل	رسم بياني للدالة · دالة خطية · قاطع · ميل · مماس · تقعر · فرق محدود · راديان · عاملي · مبرهنة ثنائي الحدين · إكمال المربع · متغيرات مستقلة ومتغيرات مرتبطة
النهايات	نهاية دالة · نهاية متسلسلة · شكل غير محدد · جدول النهايات
حساب التفاضل	اشتقاق · ترميز نيوتن للتفاضل · ترميز لايبنتز للتفاضل · ترميز نقطي للتفاضل · اشتقاق ثابت · قاعدة المجموع في التفاضل · قاعدة العامل الثابت في التفاضل · خطية التفاضل · حساب التفاضل والتكامل لعديد الحدود · اشتقاق (أمثلة) · قاعدة السلسلة · قاعدة الجداء · قاعدة ناتج القسمة · دوال عكسية و تفاضلها · تفاضل ضمني · نقطة ثابتة · العظمى والصغرى · اختبار المشتقة الأولى · اختبار المشتقة الثانية · مبرهنة القيمة المتطرفة · معادلة تفاضلية · مؤثر تفاضلي · طريقة نيوتن · مبرهنة تايلور · قاعدة اوبيتال · قاعدة لايبنتز · مبرهنة القيمة المتوسطة · اشتقاق لوغاريتمي · تفاضل (رياضيات) · معدلات مرتبطة
حساب التكامل	اشتقاق عكسي · تكامل غير محدد · قاعدة المجموع في التكامل · قاعدة العامل الثابت في التكامل · خطية التكامل · ثابت إختياري في التكامل · المبرهنة الأساسية للتكامل · تكامل بالأجزاء · قاعدة المتسلسلة المعكوسة · تكامل بالتعويض · استبدال مثلثي · كسور جزئية في التكامل · قاعدة شبه المنحرف
دوال وأعداد خاصة	لوغاريتم طبيعي · إي (ثابت رياضي) · دالة أسية · تقريب ستيرلنج · أعداد بيرنولي
تكامل عددي	قائمة مواضيع التحليل العددي · طريقة المستطيل · قاعدة شبه المنحرف · قاعدة سمبسون · متطابقات نيوتن · تربيع غاوسي
قوائم وجداول	جدول الاشتقاقات · جدول الرموز الرياضية · قائمة التكاملات · قائمة بتكاملات التوابع المنطقة · قائمة بتكاملات التوابع غير المنطقة · قائمة بتكاملات التوابع المثلثية · قائمة بتكاملات التوابع الأسية · قائمة بتكاملات التوابع اللوغاريتمية · قائمة بتكاملات التوابع القوسية · قائمة بتكاملات التوابع المساحية
متغيرات متعددة	اشتقاق جزئي · تكامل بالأقراص · بوق جبريل · مصفوفة جاكوبي · مصفوفة هسه · انحناء · مبرهنة غرين · نظرية الانحراف · نظرية ستوكس
متسلسلات	متسلسلة · متسلسلة تايلور، متسلسلة ماكلورين · متسلسلة فورييه · صيغة أويلر-ماكلورين
حساب التفاضل والتكامل غير القياسي	حساب التفاضل والتكامل غير القياسي · متناهي الصغر
تاريخ التفاضل والتكامل	عدد لامتناهي · غوتفريد لايبنتز · إسحاق نيوتن · طريقة التدفقات · حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي الصغر · ساقية تايلور · كولين ماكلورين · ليونهارت أويلر