Дифференциа́льное уравне́ние, функциональное уравнение, которое содержит производную или дифференциал неизвестной функции.

Если неизвестная функция является функцией одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным (ОДУ). Дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных (ДУ в ЧП), если неизвестная функция есть функция двух или многих переменных. Стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ) включает случайный процесс.

Максимальный порядок производной неизвестной функции, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Соответствующие производные называются старшими.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если обе части уравнения линейно зависят от неизвестной функции и её производных. В квазилинейное дифференциальное уравнение только старшие производные входят линейно, в нелинейном дифференциальном уравнении отсутствует линейная зависимость старших производных.

Решение (частное решение) дифференциального уравнения порядка $n$ – это функция, имеющая непрерывные производные до порядка $n$ включительно, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Вместе с дифференциальным уравнением задаётся область, в которой надо найти решение. Если такая область не задана (как правило, для ОДУ), то подразумевается, что это область определения решения – естественная область определения.

Решение дифференциального уравнения не является единственным. Общее решение дифференциального уравнения – это множество решений, содержащее все без исключения решения этого дифференциального уравнения. Для определения единственного решения дифференциального уравнения задаются дополнительные условия.

Важнейшим вопросом для дифференциальных уравнений является существование и единственность их решения. Теоремы существования и единственности указывают необходимые и достаточные для этого условия.

Если в рассматриваемой области решение негладкое, то можно использовать обобщённые решения в виде обобщённых функций.

Совокупность дифференциальных уравнений, содержащих производные нескольких неизвестных функций, образуют систему дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения впервые появились в работах И. Ньютона и Г. В. Лейбница во 2-й половине 17 в. В задачах механики они описывали соотношения между зависящими от времени координатой (перемещением), скоростью и ускорением. Например, второй закон Ньютона в одномерном случае записывается в виде ОДУ 2-го порядка $$m\frac{d^2x}{dt^2}=F(x,\frac{dx}{dt},t),$$где $m$ – масса тела, $F$ – действующая на него сила.

Теория дифференциальных уравнений развивалась в работах Я. Бернулли, Л. Эйлера, Ж.-Л. Лагранжа, А. Пуанкаре, С. Ковалевской, А. Ляпунова и многих других зарубежных и отечественных математиков. В настоящее время дифференциальные уравнения используются в математических моделях, описывающих различные процессы в природе, технике и человеческом обществе – в физике, химии, биологии, медицине, экономике, финансах, социологии и т. п.

Примеры:

1. Линейное ОДУ 1-го порядка относительно неизвестной функции $y(x)$ $$y^\prime+y=0$$имеет общее решение $y=Ce^{-x}$, где $C$ – произвольная постоянная. Дополнительное условие $$y(0)=1$$определяет единственное (частное) решение $y=e^{-x}$.

2. Нелинейное ОДУ 1-го порядка$$y^\prime=2xy^2$$имеет общее решение $y=-\frac{1}{x^2+C}$.

Единственное решение, удовлетворяющее условию $y(-1)=2$, есть $y=\frac{1}{1.5-x^2}$.

3. Линейное ОДУ 2-го порядка $$y{''} +k^2y=0,\ \ \ \ k=const$$имеет общее решение $y=C_1cos{x}+C_2sin{x}$. Частное решение $y=cos{x}$ удовлетворяет дополнительным условиям $y(0)=1,y^\prime(0)=0$.

4. Линейное ДУ в ЧП 1-го порядка – уравнение переноса массы $\rho(x,y,z,t)$ :$$\frac{\partial\rho}{\partial t}+div(\rho v)=0.$$5. Нелинейное ДУ в ЧП 3-го порядка – уравнение Кортевега – де Фриза: $$\frac{\partial u}{\partial t}=6u\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial^3u}{\partial x^3}.$$6. СДУ 1-го порядка – уравнение Ланжевена: $$\frac{\partial x}{\partial t}=f(x)+\eta(t),$$где $f(x)$ – заданная функция, $\eta(t)$ – случайная шумовая функция.