La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden mediante el cambio de variable , esta ecuación es de la forma
donde y son funciones continuas en un intervalo abierto con .
Caso general ()[editar]
Dividimos la ecuación diferencial entre y obtenemos
o, equivalentemente
Definiendo obtenemos las igualdades
o
Reemplazando en la ecuación diferencial
Ecuación que resulta ser una ecuación diferencial lineal cuya solución está dada por
donde es una constante arbitraria, como entonces
Finalmente
Casos particulares[editar]
Cuando entonces la ecuación
se reduce a la ecuación
cuya solución está dada por
Cuando entonces la ecuación
se reduce a
que puede resolverse mediante variables separables, dicha solución está dada por
Para resolver la ecuación:
(*)
Se hace el cambio de variable , que introducido en (*) da simplemente:
(**)
Multiplicando la ecuación anterior por el factor: se llega a:
Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:
Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:
Y se resuelve ahora la ecuación:
Deshaciendo ahora el cambio de variable:
Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue :
Véase también[editar]
Bibliografía[editar]
- Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7.
Enlaces externos[editar]