Symbole delta de Kronecker

En mathématiques, le symbole delta de Kronecker^{chap. 2,_sect._2,_§ 2.1-1">[1]}^,^{fig._12.17chap. 12,_§ 12.8-2">[2]}, également appelé symbole de Kronecker^[3]^,^[4]^,^[5]^,^[6] ou delta de Kronecker^{chap. 1^er,_sect._1.7,_§ 1.7.3-7">[7]}^,^[8]^,^[6]^,^{col. 2''s.v.''Kronecker_(delta_de)-9">[9]}, est une fonction de deux variables qui est égale à 1 si celles-ci sont égales, et 0 sinon. Il est symbolisé par la lettre δ (delta minuscule) de l'alphabet grec.

\delta _{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta ^{ij}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=j\\0&{\mbox{si }}i\neq j\end{cases}}

ou, en notation tensorielle :

\delta _{i}^{j}=\delta _{i}\cdot \delta ^{j}

où $δ i$ et $δ j$ sont des vecteurs unitaires tels que seule la $i$ -ème (respectivement la $j$ -ème) coordonnée soit non nulle (et vaille donc 1).

Lorsque l’une des variables est égale à 0, on l’omet généralement, d’où :

\delta _{i}={\begin{cases}1&{\mbox{si }}i=0\\0&{\mbox{si }}i\neq 0\end{cases}}

Histoire

L'éponyme du symbole de Kronecker^{5^e part.,_chap. 17-10">[10]}^,^{chap. 1^er,_sect._1.7,_§ 1.7.3-11">[11]}^,^{col. 1''s.v.''delta_[δ],_3-12">[12]} est le mathématicien Leopold Kronecker (1823-1891) qui l'a introduit en 1866^{n. 111^re part.,_chap. 2,_sect._10,_§ 10.2-13">[13]}^,^{n. 11-14">[14]}^,^{col. 1-15">[15]}.

Exemples

Le delta de Kronecker est utilisé dans de nombreux domaines mathématiques. Par exemple :

en algèbre linéaire, la matrice identité d'ordre 3 peut s'écrire : $(\delta _{ij})_{(i,j)\in \{1,2,3\}^{2}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$ ;
lors de sommations, le delta de Kronecker entraîne des simplifications : $\sum _{k=1}^{n}a_{k}\delta _{k,i}=\left\{{\begin{array}{cl}a_{i}&{\textrm {si}}\quad 1\leq i\leq n\\0&{\textrm {sinon.}}\quad \end{array}}\right.$

Notes et références

chap. 2,_sect._2,_§ 2.1_1-0">↑ Crépieux 2019, chap. 2, sect. 2, § 2.1, p. 34.
fig._12.17chap. 12,_§ 12.8_2-0">↑ Penrose 2007, chap. 12, § 12.8, p. 234, fig. 12.17.
↑ Barrau et Grain 2016, p. 53 et 108.
↑ Gourgoulhon 2010, p. 10 et 22.
↑ Heyvaerts 2012, p. 132 et 140.
↑ ^{a et b} Semay et Silvestre-Brac 2016, p. 137.
chap. 1^er,_sect._1.7,_§ 1.7.3_7-0">↑ Frey 2006, chap. 1^er, sect. 1.7, § 1.7.3, p. 8.
↑ Penrose 2007, p. 251.
col. 2''s.v.''Kronecker_(delta_de)_9-0">↑ Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.Kronecker (delta de), p. 414, col. 2.
5^e part.,_chap. 17_10-0">↑ Diu 2010, 5^e part., chap. 17, p. 229.
chap. 1^er,_sect._1.7,_§ 1.7.3_11-0">↑ Frey 2006, chap. 1^er, sect. 1.7, § 1.7.3, p. 7-8.
col. 1''s.v.''delta_[δ],_3_12-0">↑ Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.delta [δ], 3, p. 193, col. 1.
n. 111^re part.,_chap. 2,_sect._10,_§ 10.2_13-0">↑ Cooke 2017, 1^re part., chap. 2, sect. 10, § 10.2, p. 108, n. 11.
n. 11_14-0">↑ Hawkins 1977, p. 136, n. 11.
col. 1_15-0">↑ Kuptsov 1990, p. 309, col. 1.

Voir aussi

Bibliographie

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[Frey 2006] F. Frey, Mécanique des solides, Lausanne, PPUR, coll. « Traité de génie civil de l'École polytechnique fédérale de Lausanne / Analyse des structures et milieux continus » (n^o 3), 1990 (réimpr. 2006), 1^re éd., 1 vol., XII-192, ill., 19 × 24 cm (EAN 9782880743581, OCLC 468099866, BNF 36971146, SUDOC 008236720, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 1^er, sect. 1.7, § 1.7.3 (« Symbole de Kronecker »), p. 7-8
[Hawkins 1977] (en) Th. Hawkins, « Weierstrass and the theory of matrices » [« Weierstrass et la théorie des matrices »], Arch. Hist. Exact Sci., vol. 17, n^o 2,‎ juill. 1977, art. n^o 2, p. 119-163 (DOI 10.1007/BF02464978, JSTOR 41133484).
[Penrose 2007] R. Penrose (trad. de l'angl. par C. Laroche), À la découverte des lois de l'Univers : la prodigieuse histoire des mathématiques et de la physique [« The road to reality : a complete guide to the laws of the Universe »], Paris, O. Jacob, coll. « Sciences », août 2007, 1^re éd., 1 vol., XXII-1061, ill. et fig., 15,5 × 24 cm (ISBN 978-2-7381-1840-0, EAN 9782738118400, OCLC 209307388, BNF 41131526, SUDOC 118177311, présentation en ligne, lire en ligne).

Ouvrages de vulgarisation

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Dictionnaires et encyclopédies

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[Taillet, Villain et Febvre 2018] R. Taillet, L. Villain et P. Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Sup., hors coll., janv. 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), 1 vol., X-956, ill. et fig., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne), s.v.Kronecker (delta de), p. 414, col. 2.

Manuels et notes de cours

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[Crépieux 2019] A. Crépieux, Introduction à la physique de la matière condensée : propriétés électroniques (cours et exercices corrigés), Malakoff, Dunod, coll. « Sciences Sup. », fév. 2019, 1^re éd., 1 vol., XII-276, ill., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-078944-3, EAN 9782100789443, OCLC 1085246645, BNF 45664071, SUDOC 233879323, présentation en ligne, lire en ligne).
[Feynman 2001] R. Ph. Feynman (trad. de l'angl. amér. par C. Laroche), Leçons sur la gravitation [« Feynman lectures on gravitation »], Paris, O. Jacob, coll. « Sciences », oct. 2001 (réimpr. fév. 2006), 1^re éd., 1 vol., 278, ill., 14,5 × 22 cm (ISBN 2-7381-1038-X, EAN 9782738110381, OCLC 50419539, BNF 37719654, SUDOC 059349336, présentation en ligne, lire en ligne).
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[Semay et Silvestre-Brac 2016] C. Semay et B. Silvestre-Brac, Relativité restreinte : bases et applications (cours et exercices corrigés), Malakoff, Dunod, coll. « Sciences Sup. », mars 2016, 3^e éd. (1^re éd. oct. 2005), 1 vol., X-309, ill., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-10-074703-0, EAN 9782100747030, OCLC 945975983, BNF 45019762, SUDOC 192365681, présentation en ligne, lire en ligne).

Article original

(de) L. Kronecker, « Über bilineare Formen », Monatsberichte der Königlichen Preussischen Akademie zu Berlin,‎ 1867, p. 597-612.
(de) L. Kronecker, « Ueber bilineare Formen », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 68,‎ 1868, p. 273-285 (lire en ligne).

Articles connexes

Portail des mathématiques

[Crépieux201934<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;2</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_2</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;2.1</span>-1] . 2,_sect._2,_§ 2.1_1-0">↑ Crépieux 2019, chap. 2, sect. 2, § 2.1, p. 34.

[Penrose2007234,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="figure"_>fig.</abbr>_12.17</span><span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;12</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;12.8</span>-2] ._12.17chap. 12,_§ 12.8_2-0">↑ Penrose 2007, chap. 12, § 12.8, p. 234, fig. 12.17.

[BarrauGrain201653_et_108-3] Barrau et Grain 2016, p. 53 et 108.

[Gourgoulhon201010_et_22-4] Gourgoulhon 2010, p. 10 et 22.

[Heyvaerts2012132_et_140-5] Heyvaerts 2012, p. 132 et 140.

[SemaySilvestre-Brac2016137-6] {a et b} Semay et Silvestre-Brac 2016, p. 137.

[Frey_2006Frey_20068<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr"_title="Premier">1<sup>er</sup></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_1.7</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;1.7.3</span>-7] . 1^er,_sect._1.7,_§ 1.7.3_7-0">↑ Frey 2006, chap. 1^er, sect. 1.7, § 1.7.3, p. 8.

[Penrose2007251-8] Penrose 2007, p. 251.

[TailletVillainFebvre2018414,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''Kronecker_(delta_de)-9] . 2''s.v.''Kronecker_(delta_de)_9-0">↑ Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.Kronecker (delta de), p. 414, col. 2.

[Diu2010229<abbr_class="abbr"_title="Cinquième">5<sup>e</sup></abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="partie(s)"_>part.</abbr>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;17</span>-10] 5^e part.,_chap. 17_10-0">↑ Diu 2010, 5^e part., chap. 17, p. 229.

[Frey_2006Frey_20067-8<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr"_title="Premier">1<sup>er</sup></abbr></span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_1.7</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;1.7.3</span>-11] . 1^er,_sect._1.7,_§ 1.7.3_11-0">↑ Frey 2006, chap. 1^er, sect. 1.7, § 1.7.3, p. 7-8.

[TailletVillainFebvre2018193,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''delta_[δ],_3-12] . 1''s.v.''delta_[δ],_3_12-0">↑ Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v.delta [δ], 3, p. 193, col. 1.

[Cooke2017108,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="note(s)"_>n.</abbr>&nbsp;11</span><abbr_class="abbr"_title="Première">1<sup>re</sup></abbr>&nbsp;<abbr_class="abbr_"_title="partie(s)"_>part.</abbr>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="chapitre(s)"_>chap.</abbr>&nbsp;2</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="section(s)"_>sect.</abbr>_10</span>,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="paragraphe(s)"_>§</abbr>&nbsp;10.2</span>-13] . 111^re part.,_chap. 2,_sect._10,_§ 10.2_13-0">↑ Cooke 2017, 1^re part., chap. 2, sect. 10, § 10.2, p. 108, n. 11.

[Hawkins1977136,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="note(s)"_>n.</abbr>&nbsp;11</span>-14] . 11_14-0">↑ Hawkins 1977, p. 136, n. 11.

[Kuptsov1990309,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>-15] . 1_15-0">↑ Kuptsov 1990, p. 309, col. 1.

chap. 2,_sect._2,_§ 2.1-1">[1]

fig._12.17chap. 12,_§ 12.8-2">[2]

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[6]

chap. 1^er,_sect._1.7,_§ 1.7.3-7">[7]

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5^e part.,_chap. 17-10">[10]

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n. 111^re part.,_chap. 2,_sect._10,_§ 10.2-13">[13]

n. 11-14">[14]

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