Inverso aditivo

En matemáticas, o inverso aditivo dun elemento $x$ , denotado $-x$ ^[1], é o elemento que cando se engade a $x$ , dá a identidade aditiva, 0^[2]. Nos casos máis coñecidos, este é o número 0, mais tamén pode referirse a un elemento cero máis xeneralizado.

En matemáticas elementais, o inverso aditivo é frecuentemente referido como o número oposto^[3]. O concepto está moi relacionado coa resta^[4] e é importante para resolver ecuacións alxébricas^[5]. Non todos os conxuntos onde se define a suma teñen un inverso aditivo, como os números naturais^[6].

Exemplos comúns

Cando se traballa con números enteiros, números racionais, números reais e números complexos, o inverso aditivo de calquera número pódese atopar multiplicándoo por −1. ^[5]

Estes números complexos, dous dos oito valores de ${\sqrt[{8}]{1}}$ , son mutuamente opostos

Casos sinxelos de inversos aditivos
$n$	$-n$
$7$	$-7$
$0.35$	$-0.35$
${\frac {1}{4}}$	$-{\frac {1}{4}}$
$\pi$	$-\pi$
$1+2i$	$-1-2i$

Relación coa resta

O inverso aditivo está intimamente relacionado coa resta, que se pode ver como unha suma usando a inversa:

a - b = a + (- b)

.

Pola contra, o inverso aditivo pode considerarse como unha resta de cero:

- a = 0 - a

.

Esta conexión levou a que o signo menos se utilizase tanto para magnitudes opostas como para resta xa no século XVII. Aínda que esta notación é estándar hoxe en día, naquel momento atopouse con oposición, xa que algúns matemáticos consideraron que podería ser pouco clara e levar a erros.^[7]

Definición formal

Dada unha estrutura alxébrica definida baixo a suma $(S,+)$ cunha identidade aditiva $e\in S$ , un elemento $x\in S$ ten unha inversa aditiva $y$ se e só se $y\in S$ , $x+y=e$ , e $y+x=e$ . ^[6]

Normalmente, a adición só se usa para referirse a unha operación conmutativa, mais non é necesariamente asociativa. Cando é asociativa, de modo que $(a+b)+c=a+(b+c)$ , os inversos pola esquerda e pola dereita, se os existen, coincidirán, e o inverso aditivo será único. En casos non asociativos, os inversos pola esquerda e pola dereita poden non coincidir, e nestes casos considérase que o inverso non existe.

A definición require pechamento, que o elemento aditivo $y$ estea en $S$ . É por iso que malia que a suma está definida sobre os números naturais, non é unha inversa aditiva para os seus membros. Os inversos asociados serían os números negativos, polo que os enteiros si teñen un inverso aditivo.

Outros exemplos

Nun espazo vectorial, o inverso aditivo $- v$ (moitas veces chamada vector oposto de $v$ ) ten a mesma magnitude que $v$ e mais a dirección oposta.
En aritmética modular, o inverso aditivo modular de $x$ é o número $a$ tal que $a + x \equiv 0 (mod n)$ e sempre existe. Por exemplo, o inverso de 3 módulo 11 é 8, xa que $3 + 8 \equiv 0 (mod 11)$ .
Nun anel booleano, que ten elementos $\{0,1\}$ a suma defínese a miúdo como a diferenza simétrica. Entón $0+0=0$ , $0+1=1$ , $1+0=1$ , e $1+1=0$ . A nosa identidade aditiva é 0, e ambos os elementos son o seu propio inverso aditivo pois $0+0=0$ e $1+1=0$ . ^[8]

Notas

↑ Gallian, Joseph A. (2017). Contemporary abstract algebra (9th ed.). Boston, MA: Cengage Learning. p. 52. ISBN 978-1-305-65796-0.
↑ Fraleigh, John B. (2014). A first course in abstract algebra (7th ed.). Harlow: Pearson. pp. 169–170. ISBN 978-1-292-02496-7.
↑ Mazur, Izabela (March 26, 2021). "2.5 Properties of Real Numbers -- Introductory Algebra". Consultado o August 4, 2024.
↑ Brown, Christopher. "SI242: divisibility". www.usna.edu. Consultado o 2024-08-04.
↑ ^5,0 ^5,1 "2.2.5: Properties of Equality with Decimals". K12 LibreTexts (en inglés). 2020-07-21. Consultado o 2024-08-04.
↑ ^6,0 ^6,1 Fraleigh, John B. (2014). A first course in abstract algebra (7th ed.). Harlow: Pearson. pp. 37–39. ISBN 978-1-292-02496-7.
↑ Cajori, Florian (2011). A History of Mathematical Notations: two volume in one. New York: Cosimo Classics. pp. 246–247. ISBN 978-1-61640-571-7.
↑ Martin, Urusula; Nipkow, Tobias (1989-03-01). "Boolean unification — The story so far". Journal of Symbolic Computation. Unification: Part 1 7 (3): 275–293. ISSN 0747-7171. doi:10.1016/S0747-7171(89)80013-6.

Véxase tamén

Outros artigos

[1] Gallian, Joseph A. (2017). Contemporary abstract algebra (9th ed.). Boston, MA: Cengage Learning. p. 52. ISBN 978-1-305-65796-0.

[2] Fraleigh, John B. (2014). A first course in abstract algebra (7th ed.). Harlow: Pearson. pp. 169–170. ISBN 978-1-292-02496-7.

[3] Mazur, Izabela (March 26, 2021). "2.5 Properties of Real Numbers -- Introductory Algebra". Consultado o August 4, 2024.

[4] Brown, Christopher. "SI242: divisibility". www.usna.edu. Consultado o 2024-08-04.

[:0-5] 5,0 ^5,1 "2.2.5: Properties of Equality with Decimals". K12 LibreTexts (en inglés). 2020-07-21. Consultado o 2024-08-04.

[:1-6] 6,0 ^6,1 Fraleigh, John B. (2014). A first course in abstract algebra (7th ed.). Harlow: Pearson. pp. 37–39. ISBN 978-1-292-02496-7.

[7] Cajori, Florian (2011). A History of Mathematical Notations: two volume in one. New York: Cosimo Classics. pp. 246–247. ISBN 978-1-61640-571-7.

[8] Martin, Urusula; Nipkow, Tobias (1989-03-01). "Boolean unification — The story so far". Journal of Symbolic Computation. Unification: Part 1 7 (3): 275–293. ISSN 0747-7171. doi:10.1016/S0747-7171(89)80013-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]