ארתור באגבי נולד במחוז לואיזה שבווירג'יניה. הוא למד משפטים, התקבל ב-1819 ללשכת עורכי הדין ועסק במקצוע בקלייבורן שבאלבמה. בשנים 1821, 1822, 1824, ובשנים 1834–1836, הוא כיהן כחבר בית הנבחרים של אלבמה, כשבשנים 1822 ו-1836 הוא כיהן כיושב ראש הבית הצעיר ביותר אי פעם. ב-1825 הוא כיהן כחבר הסנאט של אלבמה.
בשנים 1837–1841 כיהן באגבי כמושל אלבמה העשירי. במהלך תקופת כהונתו כמושל סבלה ארצות הברית מהשפל הכלכלי שכונה הפאניקה של 1837 (אנ'). באגבי נקט בצעדים לסייע לבנקים של מדינתו, אך בית המחוקקים המדינתי דחה את רוב הצעדים. כל הבנקים במדינה נסגרו על ידי יורשו בתפקיד של באגבי, בנג'מין פיצפטריק.