Diszkrimináns
![]() |
Ez a szócikk vagy szakasz lektorálásra, tartalmi javításokra szorul. |
A diszkrimináns szó jelentése: előre megítélés, eldöntés, döntő tényező. A matematika területén magasabb fokú egyenletek megoldása során alkalmazzuk, ahol az adott egyenlet megoldóképletének szerves része maga, a diszkrimináns képlete. A diszkrimináns jele .
A diszkrimináns a gyakorlatban az adott magasabb fokú egyenletek gyökeinek számát határozza meg, dönti el. Mivel az algebra alaptétele csak a maximálisan szóba hozható gyökök számát definiálja, a valós gyökök számát azonban nem, ezért is volt szükséges minden lineárisnál magasabb fokú egyenlet esetében a diszkrimináns felfedezésére.
Lineáris egyenletek
[szerkesztés]A diszkriminánst csak lineárisnál magasabb fokú egyenletekre nézve értelmezzük. Az egyismeretlenes lineáris egyenletek gyökeinek számát nagyon egyszerűen az ismeretlen algebrai kifejezésével érhetjük el: ennek függvényében három verzió lehetséges
- nincs gyöke (ellentmondás)
- maximum 1 valós gyöke van
- végtelen sok megoldása van (azonosság; lineáris ekvivalencia).
Másodfokú (kvadratikus) egyenletek
[szerkesztés]Tekintsük alapul a másodfokú egyenlet együtthatóit az általános jelölés alapján ax2 + bx + c = 0 formájúnak!
Másodfokú egyenleteknek legfeljebb 2 gyöke lehet, minimum 0. Ennek értelmében 3 lehetséges kimenetele lehet egy másodfokú egyenlet megoldásának.
A gyökök mennyisége
[szerkesztés]Az egyenletnek
- 2 gyöke van
- 1 gyöke van
- nincs (valós) gyöke.
A gyökök jellege
[szerkesztés]Az egyenletnek
- csak valós gyökei vannak
- hibrid gyökei vannak (valós és komplex gyökök egyaránt)
- csak komplex gyökei vannak.
A másodfokú egyenlet diszkriminánsa
[szerkesztés]Bármely másodfokú egyenlet diszkriminánsát meghatározhatjuk a képlettel (a fenti jelölések alapján).
A diszkrimináns értékének értelmezése az alábbiak alapján történik:
- D > 0 : Az egyenletnek 2 valós gyöke van;
- D = 0 : Az egyenletnek 1 valós gyöke van;
- D < 0 : Az egyenletnek 2 komplex gyöke van.
Megjegyzések:
- A fentiek alapján diszkrimináns értékének értelmezése a gyökök számának tekintetében csakis valós gyökökre vonatkozik.
- A másodfokú egyenlet redukált alakjának diszkriminánsa: .
Harmadfokú egyenletek
[szerkesztés]A harmadfokú egyenlet megoldóképlete megtekinthető itt.
Negyedfokú egyenlet
[szerkesztés]A negyedfokú egyenlet megoldóképlete megtekinthető itt.
Források
[szerkesztés]- Egyenletek a mathematika.hu-n
- Négyjegyű függvénytáblázatok (Dr. Hack Frigyes Ph.D.) ISBN 978-963-19-5703-7