Controimmagine
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In matematica, la controimmagine di un sottoinsieme del codominio di una funzione, anche detta immagine inversa, fibra, antiimmagine, retroimmagine o preimmagine, è l'insieme degli elementi del dominio che la funzione associa a tale sottoinsieme. Si tratta quindi di un sottoinsieme del dominio della funzione.
Definizione
[modifica | modifica wikitesto]Data una funzione f : A → B, la controimmagine di un insieme B1 ⊆ B tramite f è un sottoinsieme di , indicato con [1] tale che appartiene a se e solo se appartiene a . In modo equivalente:
Talvolta si considera il seguente insieme, chiamato fibra di b, la cui notazione è, invero, leggermente impropria:
Tali insiemi, che dovrebbero essere più propriamente indicati , sono di particolare importanza quando le funzioni coinvolte sono funzioni reali; in questo caso vengono anche detti insiemi di livello o curve di livello. In topologia, invece, si chiamano fibre.
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]Considerata una funzione f : A → B, valgono le seguenti proprietà:
- Se , allora
In B2 potrebbe esserci un elemento b che appartiene all'immagine di f ma non a B1.
- La controimmagine dell'unione di due insiemi è l'unione delle due controimmagini. In simboli:
- In generale:
- La controimmagine dell'intersezione di due insiemi è l'intersezione delle due controimmagini. In simboli: [2]
- In generale:
- La controimmagine della differenza di due insiemi è la differenza delle due controimmagini. In simboli:
- Per ogni sottoinsieme del dominio, allora e l'uguaglianza vale sempre se e solo se la funzione f è iniettiva.
Potrebbero esserci elementi del dominio che non stanno in A1 ma che hanno la stessa immagine di un elemento in A1. Ovviamente se f è iniettiva questo non può succedere.
- Per ogni sottoinsieme del codominio, allora e l'uguaglianza vale sempre se e solo se la funzione f è suriettiva.
Potrebbero esserci elementi in B1 che non appartengono all'immagine di f. Se però f è suriettiva questo non accade.
- Se e allora
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]Sia tale che . Allora
Note
[modifica | modifica wikitesto]- ^ L'uso di tale scrittura comporta un lieve abuso di notazione, in quanto è la stessa utilizzata per la funzione inversa, che agisce su elementi e non su insiemi.
- ^ Questa proprietà e la precedente caratterizzano come un omomorfismo di reticoli.
Bibliografia
[modifica | modifica wikitesto]- Marco Abate e Chiara de Fabritiis. Geometria analitica con elementi di algebra lineare. Milano, McGraw-Hill, 2006. ISBN 8838662894.
- Giulio Campanella. Appunti di algebra. Roma, Nuova Cultura, 2005. ISBN 8889362227.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- Controimmagine, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.
- Controimmagine, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- Antimmagine, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) Eric W. Weisstein, Pre-Image, su MathWorld, Wolfram Research.