Composizione di funzioni
In matematica, la composizione di funzioni è l'applicazione di una funzione al risultato di un'altra funzione. Più precisamente, una funzione tra due insiemi e associa ogni elemento di a uno di : in presenza di un'altra funzione che associa ogni elemento di a un elemento di un altro insieme , si definisce la composizione di e come la funzione che associa ogni elemento di a uno di usando prima e poi . Il simbolo Unicode dell'operatore è ∘ (U+2218).
Definizione
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Formalmente, date due funzioni e definiamo la funzione composta:
applicando prima ad e quindi applicando al risultato .
Ad esempio, supponiamo che l'altezza di un aereo al tempo sia data da una funzione e che la concentrazione di ossigeno nell'atmosfera all'altezza sia data da un'altra funzione . Allora descrive la concentrazione di ossigeno nella posizione in cui sta l'aereo al tempo .
Per ragioni storiche la composizione è scritta "da destra verso sinistra", in contrasto con la normale lettura "da sinistra a destra" delle lingue europee. Per questo motivo alcuni autori preferiscono usare una notazione invertita, e scrivere invece di .
Per comporre due funzioni è strettamente necessario che il dominio di coincida con il codominio di . In alcuni ambiti, tuttavia, identificando impropriamente due funzioni che hanno la stessa legge di applicazione, ma diversi domini e codomini, si ritiene sufficiente che l'immagine di e il dominio di abbiano un'intersezione non vuota.
Proprietà
[modifica | modifica wikitesto]La composizione di funzioni è sempre associativa. In altre parole, se , e sono tre funzioni con domini e codomini opportuni, allora . Per questo motivo si possono omettere le parentesi nella composizione di più funzioni.
La composizione di due funzioni iniettive è iniettiva, e di due funzioni suriettive è suriettiva. Quindi la composizione di due funzioni biettive è biettiva. Ma non vale il viceversa.
L'insieme delle funzioni biettive , con l'operazione di composizione, è un gruppo. La proprietà associativa è garantita per quanto detto sopra, l'elemento neutro è la funzione identità per ogni ) e un inverso esiste sempre perché le funzioni sono biettive. Questo gruppo è detto anche gruppo delle permutazioni di . Se l'insieme contiene più di due elementi, tale gruppo non è commutativo: generalmente due funzioni biettive non commutano.
Derivata delle funzioni composte
[modifica | modifica wikitesto]La derivata della funzione composta è il prodotto tra la derivata della funzione "esterna" moltiplicata per la derivata della funzione "interna":
dove le notazioni e indicano il medesimo significato di derivata.
La formula è valida anche per funzioni di più variabili reali e per funzioni vettoriali. Il teorema di derivazione delle funzioni composte afferma che se:
è un vettore di le cui componenti sono funzioni derivabili:
e se è una funzione differenziabile in , allora la funzione composta:
è differenziabile nella variabile e si ha:
dove è il gradiente di e è il prodotto scalare euclideo standard.
Infine, se e sono due funzioni vettoriali differenziabili componibili, allora:
dove è la moltiplicazione di matrici e è la matrice jacobiana di .
Composizioni iterate
[modifica | modifica wikitesto]Una funzione (non necessariamente biettiva) può essere composta con sé stessa volte, ed il risultato, detto iterata -esima di , può essere scritto quando non genera ambiguità. Ad esempio con si denota comunemente il quadrato del seno di , cioè , anziché il valore in della composizione del seno con se stesso, cioè .
Lo studio delle composizioni iterate di una funzione è argomento comune nell'ambito dei sistemi dinamici discreti e in particolare nella definizione dei frattali, che si possono trovare iterando infinite volte una funzione.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Funzione (matematica)
- Funzione inversa
- Anello di composizione
- Funzione di ordine superiore
- Lambda calcolo
- Diagramma a ragnatela
- Radice quadrata funzionale
- Analisi frazionaria
- Flusso (matematica)
Altri progetti
[modifica | modifica wikitesto]Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sulla composizione di funzioni
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- funzioni, composizione di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
- (EN) Eric W. Weisstein, Composizione di funzioni, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Composizione di funzioni, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.