반사슬
순서론에서 반사슬(反사슬, 영어: antichain 앤티체인[*])은 서로 다른 두 원소가 비교될 수 없는, 원순서 집합의 부분 집합이며, 사슬(영어: chain 체인[*])은 서로 두 원소가 항상 비교될 수 있는, 원순서 집합의 부분 집합이다.
정의
[편집]원순서 집합 의 반사슬은 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 이다.
- 임의의 에 대하여, 라면 이다.
원순서 집합 의 사슬은 원전순서 집합인 부분 집합 이다. 즉, 다음 조건을 만족시키는 부분 집합 이다.
- 임의의 에 대하여, 이거나 이다.
즉, 반사슬 속의 서로 다른 두 원소는 항상 비교 불가능하며, 사슬 속의 서로 다른 두 원소는 항상 비교 가능하다.
극대 사슬과 극대 반사슬
[편집]원순서 집합 의 사슬들의 집합과 반사슬들의 집합은 각각 부분 집합 관계에 따라 부분 순서 집합을 이룬다. 이에 대하여 극대인 (반)사슬 (즉, 더 큰 반사슬에 포함되지 않는 (반)사슬)을 극대 (반)사슬(極大(反)사슬, 영어: maximal (anti-) chain)이라고 한다.
높이와 너비
[편집]원순서 집합 의 높이(영어: height) 는 속의 사슬의 크기의 상한이다. 마찬가지로, 원순서 집합 의 너비(영어: width) 는 속의 반사슬의 크기의 상한이다.
성질
[편집]딜워스 정리와 미르스키 정리
[편집]임의의 부분 순서 집합 에 대하여, 를 사슬들로 분할할 수 있으며, 이러한 분할의 최소 크기를 라고 하자. 또 를 반사슬들로도 분할할 수 있으며, 이러한 분할의 최소 크기를 라고 하자. 한원소 집합은 사슬이자 반사슬이므로, 자명하게
이다. 부분 순서 집합 속의 사슬 및 반사슬 에 대하여 이다. 따라서, 만약 를 사슬 들로 분할하였을 때, 각 반사슬 에 대하여 이므로 이며, 즉
이다.[1]:303 반대로, 만약 를 반사슬 들로 분할하였을 때, 각 사슬 에 대하여 이므로 이며, 즉
이다.
딜워스 정리(Dilworth定理, 영어: Dilworth’s theorem) 및 미르스키 정리(Мирский定理, 영어: Mirsky’s theorem)에 따르면, 만약 의 너비 또는 높이가 유한하다면 위 부등식들이 포화된다. 즉, 딜워스 정리에 따르면, 만약 부분 순서 집합 의 너비가 유한하다면, 이는 와 같다.[1]:303 반대로, 미르스키 정리에 따르면, 만약 의 높이가 유한하다면, 이는 와 같다.
이 정리들은 무한한 너비 또는 높이의 부분 순서 집합에 대하여 기수로서 성립하지 않는다.[2]
그린-클라이트먼 정리
[편집]딜워스 정리와 미르스키 정리는 다음과 같이 그린-클라이트먼 정리(Greene-Kleitman定理, 영어: Greene–Kleitman theorem)로 일반화된다.
부분 순서 집합 를 사슬로 다음과 같이 분할하였다고 하자.
또한, 위에 개의 반사슬 이 주어졌다고 하자. (이들이 서로소일 필요는 없다.) 그렇다면, 각 에 대하여
이므로, 자명하게
가 성립한다. 의 -너비(영어: -width) 를 개의 반사슬의 합집합의 크기의 상한으로 정의하고, 의 -높이(영어: -height) 를 개의 사슬의 합집합의 크기의 상한으로 정의하자. 마찬가지로, 를 의 사슬 분할 에 대한 의 하한으로, 를 의 반사슬 분할 에 대한 의 하한으로 정의하자. 그렇다면 위 논리에 의하여 자명하게
가 성립한다.
그린-클라이트먼 정리에 따르면, 만약 가 유한 부분 순서 집합이라면, 위 두 부등식들이 항상 포화된다.[3][4]
딜워스 정리 · 미르스키 정리는 그린-클라이트먼 정리에서 인 특수한 경우이다.
히라구치 정리
[편집]부분 순서 집합 의 전순서 확대(영어: totally ordered extension)는 위에 주어진 다음과 같은 전순서 이다.
즉, 에 순서 관계를 추가하여 전순서로 만드는 것이다. 부분 순서 집합 의 차원(영어: dimension) 는 다음 조건을 만족시키는 전순서 확대의 집합 의 최소 크기이다.
(여기서 는 논리합이다.) 모든 부분 순서 집합은 하나 이상의 전순서 확대를 갖는다.
히라구치 정리에 의하면, 이다.[5]:82, (3.3) 만약 의 너비가 유한하다면, 딜워스 정리에 의하여 가 된다.
예
[편집]공집합은 항상 자명하게 사슬이자 반사슬이다.
전순서 집합
[편집]전순서 집합의 반사슬은 공집합이거나 아니면 하나의 원소만을 갖는 집합이다. 부분 순서 집합 에 대하여 다음 세 조건이 서로 동치이다.
- 는 전순서 집합이다.
- 는 스스로 속의 사슬을 이룬다.
- 의 너비는 이다.
만약 가 유한 부분 순서 집합이라면 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 는 전순서 집합이다.
- 의 높이는 이다.
멱집합
[편집]집합 의 멱집합 은 포함 관계에 대하여 부분 순서 집합(사실 불 대수)를 이룬다. 속의 반사슬을 슈페르너 족(Sperner族, 영어: Sperner family)이라고 한다.
크기가 인 유한 집합의 슈페르너 족의 수는 데데킨트 수(영어: Dedekind number)라고 하며, 다음과 같다. ()
슈페르너의 정리에 따르면, 만약 가 유한 집합일 때, 의 너비는 다음과 같다.
대수 구조
[편집]추상대수학에서는 각종 대수 구조로부터 정의되는 부분 순서 집합의 높이가 널리 사용된다.
환론에서, 가군 의 부분 가군 격자 의 높이 빼기 1은 의 길이 라고 한다.
가환환 의 소 아이디얼들의 부분 순서 집합 의 높이 빼기 1은 의 크룰 차원 이라고 한다.
가환환 의 소 아이디얼 속에 포함된 소 아이디얼들의 부분 순서 집합
의 높이 빼기 1은 의 높이 라고 한다.
최소 원소를 갖는 사슬이 항상 유한 집합인 부분 순서 집합은 오름 사슬 조건을 만족시킨다고 하고, 반대로 최대 원소를 갖는 사슬이 항상 유한 집합인 부분 순서 집합은 내림 사슬 조건을 만족시킨다고 한다. 이 조건들은 뇌터 환 · 아르틴 환과 같은 중요한 개념들을 정의하는 데 쓰인다.
역사
[편집]1897년에 리하르트 데데킨트는 데데킨트 수를 정의하였다.[6] 이후 1928년에 에마누엘 슈페르너(영어: Emanuel Sperner)는 멱집합의 너비를 계산하였다 (슈페르너의 정리).[7]
딜워스 정리는 미국의 수학자 로버트 파머 딜워스(영어: Robert Palmer Dilworth, 1914~1993)가 1950년 논문에서 처음 제시하였다.[1]:303[8] 히라구치 정리는 히라구치 도시오(일본어: 平口 俊夫)가 1951년에 증명하였다.[5]:82, (3.3)
미르스키 정리는 러시아 태생의 영국 수학자 레오니트 미르스키(러시아어: Леони́д Ми́рский, 영어: Leonid Mirsky, 1918~1983)가 1971년에 증명하였다.[9]
그린-클라이트먼 정리는 커티스 그린(영어: Curtis Greene)과 대니얼 클라이트먼(영어: Daniel J. Kleitman)이 증명하였다.[3][4]
각주
[편집]- ↑ 가 나 다 윤영진 (2007). 《새로운 조합수학》. 교우사. ISBN 978-89-8172-379-8.
- ↑ Perles, Micha Asher (1963). “On Dilworth’s theorem in the infinite case”. 《Israel Journal of Mathematics》 (영어) 1 (2): 108–109. doi:10.1007/BF02759806. MR 0168497. Zbl 0115.01703.
- ↑ 가 나 Greene, Curtis; Kleitman, Daniel J. (1976). “The structure of Sperner k-families”. 《Journal of Combininatorial Theory, Series A》 (영어) 20: 41–68. doi:10.1016/0097-3165(76)90077-7. ISSN 0097-3165.
- ↑ 가 나 Greene, Curtis (1976). “Some partitions associated with a partially ordered set”. 《Journal of Combininatorial Theory, Series A》 (영어) 20: 69–79. doi:10.1016/0097-3165(76)90078-9. ISSN 0097-3165.
- ↑ 가 나 Hiraguchi, Toshio (1951년 6월). “On the dimension of partially ordered sets”. 《金沢大学理科報告》 (영어) 1: 77–94.
- ↑ Dedekind, Richard (1897). “Über Zerlegungen von Zahlen durch ihre größten gemeinsamen Teiler”. 《Festschrift der Technischen Hochschule Braunschweig》 (독일어).
- ↑ Sperner, Emanuel (1928). “Ein Satz über Untermengen einer endlichen Menge”. 《Mathematische Zeitschrift》 (독일어) 27 (1): 544–548. doi:10.1007/BF01171114. JFM 54.0090.06.
- ↑ Dilworth, R. P. (1950년 1월). “A decomposition theorem for partially ordered sets”. 《Annals of Mathematics》 (영어) 51: 161–166. ISSN 0003-486X. JSTOR 1969503. Zbl 0038.02003.
- ↑ Mirsky, Leon (1971). “A dual of Dilworth’s decomposition theorem”. 《American Mathematical Monthly》 (영어) 78 (8): 876–877. doi:10.2307/2316481. JSTOR 2316481.
외부 링크
[편집]- “Chain”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Anti-chain”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Length of a partially ordered set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Width of a partially ordered set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Dimension of a partially ordered set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Greene-Kleitman theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Sperner property”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Antichain”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Chain”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Partial order width”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Partial order length”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Dilworth's lemma”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.