Чебишово неравенство

Чебишово неравенство се изучува во теоријата на веројатност. Оваа теорема на рускиот математичар Пафнутиј Чебишов покажува дека веројатноста една случајна променлива $X$ со средна вредност $\eta$ и варијанса ${\sigma }^{2}$ да биде надвор од произволен интервал $(\eta -\epsilon ,\eta +\epsilon )$ е произволно мала ако односот ${\sigma }/{\epsilon }$ е доволно мал.

Теорема

Нека $X$ e случајна променлива со средна вредност $\eta$ и варијанса ${\sigma }^{2}$. Тогаш за секое $\epsilon >0$ важи неравенството:

$P\{|X-\eta |\geq \epsilon \}\leq {\frac {{\sigma }^{2}}{{\epsilon }^{2}}}$

Доказ

Нека со $f(x)$ ја означиме функцијата на густина на веројатност на случајната променлива $X$. Тогаш доказот на теоремата се заснова на следниот факт:

$P\{|X-\eta |\geq \epsilon \}=\int _{-\infty }^{-\eta -\epsilon }f(x)\,dx+\int _{\eta +\epsilon }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{|x-\eta |\geq \epsilon }f(x)\,dx$

Навистина,

${\sigma }^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\eta )^{2}f(x)\,dx\geq \int _{|x-\eta |\geq \epsilon }(x-\eta )^{2}f(x)\,dx\geq {\epsilon }^{2}\int _{|x-\eta |\geq \epsilon }f(x)\,dx$

од што следува неравенството со оглед на тоа што последниот интеграл е еднаков на $P\{|X-\eta |\geq \epsilon \}$.

Поврзано

• Пафнутиј Чебишов
• Неравенство на Марков
• Бјенемеово неравенство
• Љапуново неравенство

Литература

• A. Papoulis, S. Unnikrishna Pillai, "Probability, Random Variables and Stochastic Processes", Fourth edition, McGraw-Hill, 2002.