Stopa hazardu

Stopa hazardu – pochodna funkcji hazardu. Określa zbliżający się moment bankructwa danej firmy w najbliższej przyszłości. Potocznie nazywany natychmiastową stopą bankructwa.

Wzór

Stopa hazardu spełnia zależność:

$\Gamma _{P}(t)=\int \limits _{0}^{t}\gamma _{P}(s)ds,$ dla każdego $t\geqslant 0,$

gdzie:

$\Gamma _{P}(t)$ – funkcja hazardu,

$\gamma _{P}(t)$ – stopa hazardu.

Własności

Twierdzenie

Jeżeli zmienna $\tau$ posiada gęstość ${\mathcal {f}}_{P},$ wówczas istnieje stopa hazardu dana wzorem:

$\gamma _{P}(t)={\frac {{\mathcal {f}}_{P}(t)}{1-F_{P}(t)}}.$

Odwrotnie, jeżeli stopa hazardu $\gamma _{P}$ istnieje, wówczas $\tau$ posiada gęstość postaci:

${\mathcal {f}}_{P}(t)=\gamma _{P}(t)e^{-\Gamma _{P}(t)}.$

Dowód

Załóżmy, że $\tau$ ma gęstość ${\mathcal {f}}_{P}.$ Chcemy pokazać, że:

$\int _{0}^{t}{\frac {{\mathcal {f}}_{P}(s)}{1-F_{P}(s)}}ds=\Gamma _{P}(t)$

Wyliczając całkę po lewej, otrzymujemy:

$\int _{0}^{t}{\frac {{\mathcal {f}}_{P}(s)}{1-F_{P}(s)}}ds=\int _{0}^{t}{\frac {F'_{P}(s)}{1-F_{P}(s)}}ds=-ln(1-F_{P}(t))=\Gamma _{P}(t),$

gdyż ${\mathcal {f}}_{P}(s)=F'_{P}(s)$ dla prawie wszystkich $s\in [0,\infty ).$

Jeżeli stopa hazardu $\gamma _{P}$ istnieje i ${\mathcal {\gamma }}_{P}(t)=\Gamma '_{P}(t)$ dla prawie wszystkich $t\in [0,\infty ),$ wówczas dystrybuanta wyraża się wzorem:

$F_{P}(t)=1-e^{-\Gamma _{P}(t)},$

gdzie po zróżniczkowaniu otrzymujemy:

$F'_{P}(t)=\gamma _{P}(t)e^{-\Gamma _{P}(t)}={\mathcal {f}}_{P}(t)$ dla prawie wszystkich $t\in [0,\infty ).$ $\Box$

Przykłady

• Jeżeli moment bankructwa ma rozkład wykładniczy to dla każdego $t\geqslant 0{:}$

$\gamma _{P}(t)=\lambda ,$

$\Gamma _{P}(t)=\lambda t.$

• Dla rozkładu gamma o parametrach $k=3$ oraz $\theta =2$ stopa hazardu wyraża się wzorem:

$\gamma _{P}(t)={\frac {4t^{2}}{2t^{2}+2t+1}},$ dla każdego $t\geqslant 0.$