Circuito RLC
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Um circuito RLC (também conhecido como circuito ressonante ou circuito aceitador) é um circuito elétrico consistindo de um resistor (R), um indutor (L), e um capacitor (C), conectados em série ou em paralelo.
O circuito RLC é chamado de circuito de segunda ordem visto que qualquer tensão ou corrente nele pode ser descrita por uma equação diferencial de segunda ordem.
Parâmetros fundamentais
[editar | editar código-fonte]Existem dois parâmetros fundamentais que descrevem o comportamento dos circuitos RLC: a frequência de ressonância e o factor de carga. Para além disso, existem outros parâmetros que podem ser derivados destes dois primeiros.
Frequência de ressonância
[editar | editar código-fonte]A frequência natural ou de ressonância sem carga de um circuito RLC (em radianos por segundo) é:
Utilizando a unidade hertz, a frequência de ressonância fica:
A ressonância ocorre quando a impedância complexa ZLC do ressonador LC se torna zero:
Ambas estas impedâncias são função de uma frequência angular s complexa:
Considerando estas duas expressões acima iguais e resolvendo para s, tem-se:
onde a frequência de ressonância ωo é dada pela expressão acima.
Fator de carga
[editar | editar código-fonte]O fator de carga do circuito (em radianos por segundo) é:
Para aplicações em circuitos osciladores, é geralmente desejável que o fator de carga seja o menor possível ou, de igual forma, aumentar o fator de qualidade (Q) o máximo possível. Na prática, isto requer uma redução na resistência R no circuito para uma quantia tão baixa quanto fisicamente possível. Neste caso, o circuito RLC torna-se uma boa aproximação do circuito LC ideal, que não é realizável na prática (mesmo que a resistência seja removida do circuito, ainda existe uma resistência pequena, porém diferente de zero no fio e nas conexões entre os elementos do circuito que não pode ser eliminada totalmente).
Alternativamente, para aplicações em filtros passa-banda, o factor de carga é escolhido baseado na largura de banda desejada do filtro. Para uma maior largura de banda, um maior fator de carga é necessário, e para uma largura de banda menor, utiliza-se um menor fator de carga. Na prática, isto requer ajustar os valores relativos da resistência R e do indutor L no circuito.
Parâmetros derivados
[editar | editar código-fonte]Os parâmetros derivados incluem largura de banda, fator Q e frequência de ressonância com carga.
Largura de banda
[editar | editar código-fonte]O circuito RLC pode ser utilizado como um filtro passa-faixa ou rejeita-faixa, e a sua largura de banda (em radianos por segundo) é:
Alternativamente, a largura de banda em hertz é
A largura de banda é a medida do comprimento da resposta em frequência das duas frequências com metade da potência do sinal de entrada. Como resultado, esta medida de largura de banda é muitas vezes chamada de "comprimento total a metade da potência". Visto que a potência é proporcional ao quadrado da tensão do circuito (ou corrente), a resposta em frequência irá cair a nas frequências de metade da potência.
Qualidade ou factor Q
[editar | editar código-fonte]A qualidade do circuito, ou factor Q (ver Equalizador), é calculada como a razão entre a frequência de ressonância e a largura de banda (em radianos por segundo):
Ou, em hertz:
Q é uma unidade adimensional.
Ressonância com carga
[editar | editar código-fonte]A frequência de ressonância com carga deriva da frequência de ressonância natural e do factor de carga. Se o circuito estiver com subcarga, verifica-se que
então pode-se definir a ressonância com carga como
Em um circuito oscilador
- .
E, como resultado
- (approx).
Configurações
[editar | editar código-fonte]Todo circuito RLC consiste de dois componentes: uma fonte de alimentação e um ressonador. Existem dois tipos de fontes de alimentação, a fonte de Thévenin e a fonte de Norton. Da mesma forma, existem dois tipos de ressonadores, os LC série e o LC paralelo. Como resultado, existem quatro configurações de circuitos RLC:
- LC série com fonte de alimentação do tipo Thévenin;
- LC série com fonte de alimentação do tipo Norton;
- LC paralelo com fonte de alimentação do tipo Thévenin;
- LC paralelo com fonte de alimentação do tipo Norton.
Análise do circuito
[editar | editar código-fonte]RLC série com fonte da alimentação do tipo Thévenin
[editar | editar código-fonte]Neste circuito, os três componentes estão todos em série com a fonte de tensão.
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Notações do circuito RLC série:
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Dados os parâmetros v, R, L, e C, a solução para a corrente (I) utilizando a Lei da Tensão de Kirchoff é:
Para uma tensão variável com o tempo v(t), isto se torna
Rearranjando a equação [dividindo por L e derivando ambos os termos] tem-se a seguinte equação diferencial de segunda ordem:
Definem-se agora dois parâmetros chave:
- e
sendo ambos medidos em radianos por segundo.
Substituindo estes parâmetros na equação diferencial, obtém-se:
A solução para Resposta de Entrada Zero (ZIR)
[editar | editar código-fonte]Colocando a entrada (fonte de tensão) em zero, obtém-se:
com as condições iniciais para a corrente do indutor, IL(0), e a tensão do capacitor VC(0). De modo a resolver a equação propriamente, as condições iniciais necessárias são I(0) e I'(0).
O primeiro já foi feito, visto que a corrente na total é igual à corrente no indutor, portanto
A segunda é obtida aplicando a Lei da Tensão de Kirchoff novamente:
Agora tem-se uma equação diferencial de segunda ordem homogênea com duas condições iniciais. Substituíndo os parâmetros ζ e ω0, tem-se
Convertendo a forma da equação para seu polinomial característico
Utilizando a fórmula quadrática, acham-se as raízes como
Dependendo dos valores de α e ω0, existem três casos possíveis:
Sobrecarga/Regime superamortecido (aperiódico)
[editar | editar código-fonte]Neste caso, as soluções do polinomial característico são dois números reais negativos. Isto é chamado de "sobrecarga".
Duas raízes reais negativas, as soluções são:
Carga crítica/ Regime amortecido crítico (aperiódico limite)
[editar | editar código-fonte]Neste caso, as soluções da polinomial característica são dois números reais negativos idênticos. Isto é chamado de "carga crítica".
As duas raízes são idênticas (). As soluções são:
- para constantes arbitrárias A e B
Subcarga/ Regime subamortecido (periódico amortecido; pseudo-periódico)
[editar | editar código-fonte]Neste caso. as soluções do polinomial característico são um conjugado complexo e possuem uma parte real negativa. Isto é chamado de "subcarga" e resulta em oscilações no circuito.
As soluções consistem de duas raízes conjugadas
e
onde
As soluções são:
- para constantes arbitrárias A e B.
Utilizando a fórmula de Euler [ ], pode-se simplificar a solução para
- para constantes arbitrárias C e D.
Estas soluções são caracterizadas por uma resposta sinusoidal com decaimento exponencial. O tempo necessário para que as oscilações sejam eliminadas depende da qualidade do circuito, ou fator Q. Quanto maior a qualidade, mais tempo é necessário para que as oscilações decaiam.
Solução para Resposta de Estado Zero (ZSR)
[editar | editar código-fonte]Com as condições iniciais configuradas para zero e utilizando a seguinte equação:
Existem duas aproximações que podem ser utilizadas para encontrar o ZSR:
Transformada de Laplace
[editar | editar código-fonte]Primeiramente realiza-se a transformada de Laplace da equação diferencial de segunda ordem:
- onde V(s) é a transformada de Laplace do sinal de entrada:
Então resolve-se para a admitância complexa Y(s) (em siemens):
Pode-se utilizar a admitância Y(s) e a transformada de Laplace da tensão de entrada V(s) para encontrar a corrente elétrica complexa I(s):
Finalmente, pode-se encontrar a corrente elétrica no domínio do tempo através da transformada de Laplace inversa:
Exemplo:
Suponha
- onde u(t) é a função de passo Heaviside.
Então
Integral de convolução
[editar | editar código-fonte]Uma solução separada para cada função possível para V(t) é impossível. No entanto, existe um método para encontrar uma fórmula para I(t) utilizando a convolução. Para fazer isto, é necessário uma solução para uma entrada básica, a função delta de Dirac.
Para encontrar a solução mais facilmente começa-se resolvendo-a para a função de passo Heaviside e então utilizando o facto de que o nosso circuito é um sistema linear, a sua derivada será a solução para a função delta.
A equação então será, para t>0:
Assumindo que λ1 e λ2 são raízes de
então tal como na solução para ZIR, obtêm-se 3 casos diferentes:
Sobrecarga
[editar | editar código-fonte]Neste caso temos duas raízes reais negativas, a solução é:
Carga crítica
[editar | editar código-fonte]Nesta caso, as raízes são idênticas (), a solução é:
Subcarga
[editar | editar código-fonte]Neste caso existem duas raízes complexas conjugadas (), a solução é:
Domínio da frequência
[editar | editar código-fonte]O circuito RLC série pode ser analisado no domínio da frequência utilizando as relações de impedância complexa. Se a fonte de tensão acima produz uma forma de onda exponencial complexa com a amplitude V(s) e frequência angular , a Lei de Kirchoff para Tensão pode ser aplicada:
onde I(s) é a corrente complexa através de todos os componentes. Resolvendo para I tem-se:
E rearranjando, obtém-se
Admitância complexa
[editar | editar código-fonte]A seguir, a resolução para a admitância complexa Y(s):
Então, simplifica-se utilizando os parâmetros α e ωo
Note que esta expressão para Y(s) é a mesma encontrada para a Resposta de Estado Zero.
Pólos e Zeros
[editar | editar código-fonte]Os zeros de Y(s) são os valores de s tais que :
- e
Os pólos de Y(s) são os valores de s tais que :
Note que os pólos de Y(s) são idênticos às raízes e do polinómio característico.
Estado sinusoidal constante
[editar | editar código-fonte]Supondo , obtendo a magnitude da equação acima obtém-se:
A seguir, encontra-se a magnitude da corrente com uma função de ω
Se os valores escolhidos fossem R = 1 ohm, C = 1 farad, L = 1 henry, e V = 1 volt, então o gráfico da magnitude da corrente I (em amperes) como uma função de ω (em radianos por segundo) seria:
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Note que existe um pico em . Este é conhecido como a frequência de ressonância. Resolvendo para este valor, encontra-se:
Circuito RLC paralelo
[editar | editar código-fonte]Um modo de recuperar as propriedades do circuito RLC é através do uso da não-dimensionalização.
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Notações do circuito RLC paralelo:
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Para uma configuração paralelo dos mesmos componentes, aonde Φ é o fluxo magnético no sistema, tem-se abaixo:
com substituições obtém-se:
A primeira variável corresponde ao fluxo magnético máximo armazenado no circuito, e a segunda variável corresponde ao período das oscilações ressonantes no circuito.
Similaridades e diferenças entre os circuitos em série e em paralelo
[editar | editar código-fonte]As expressões para a largura de banda nas configurações em série e em paralelo são inversas. Isto é particularmente útil para determinar se uma configuração em série ou em paralelo deve ser utilizada no projecto de um circuito particular. Entretanto, na análise de circuito, geralmente, a recíproca das duas variáveis posteriores é utilizada para caracterizar o sistema. Elas são conhecidas como a frequência de ressonância e o factor Q, respectivamente.
Aplicações dos circuitos ajustados
[editar | editar código-fonte]Existem muitas aplicações para os circuitos ajustados, especialmente nos sistemas de rádio e comunicações. Eles podem ser utilizados para selecionar uma certa faixa de frequências de um espectro total de ondas de rádio.