Conjunto convexo
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Em um espaço euclidiano, uma região convexa é uma região onde, para cada par de pontos dentro da região, cada ponto no segmento de reta que une o par também está dentro da região.[1] Por exemplo, um cubo sólido é um conjunto convexo, mas tudo o que é oco ou tem um recuo, por exemplo, uma forma crescente, não é convexo. De forma geral, em geometria convexa, um conjunto convexo é um subconjunto de um espaço afim que é fechado sob combinações convexas.[2] O limite de um conjunto convexo é sempre uma curva convexa. A interseção de todos os conjuntos convexos contendo um determinado subconjunto A do espaço euclidiano é chamada de invólucro convexo ou envoltória convexa de A. É o menor conjunto convexo contendo A.[3]
Uma função convexa é uma função de valor real definida em um intervalo com a propriedade que sua epígrafe (o conjunto de pontos no gráfico da função ou acima dela) é um conjunto convexo. A minimização convexa é um subcampo de otimização que estuda o problema de minimizar funções convexas sobre conjuntos convexos. O ramo da matemática dedicado ao estudo de propriedades de conjuntos convexos e funções convexas é chamado de análise convexa. A noção de um conjunto convexo pode ser generalizada como descrito abaixo.[4]
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Um subconjunto X de um espaço afim é convexo quando todo segmento de reta ligando dois pontos de X está contido em X.
Ou seja:
Se o conjunto X não é convexo, diz-se côncavo. Em convexo é equivalente a conexo, ou seja, os subconjuntos convexos de números reais são os intervalos (incluindo os unitários).
Exemplos
[editar | editar código-fonte]- Espaços afins;[4]
- Os sólidos platónicos;
- Os segmentos de recta;
- Os subespaços vectoriais de um espaço vectorial;
- O conjunto solução para um número arbitrário de desigualdades lineares, tais como . Em particular, o conjunto solução de finitas desigualdades lineares para alguma matriz é convexo e é chamado de poliedro;[4]
- Uma -vizinhança tal que [4]
- Todas bolas, abertas ou fechadas, no .[5]
Combinação convexa
[editar | editar código-fonte]Uma combinação convexa de um conjunto de pontos é um ponto que satisfaz onde
Por exemplo, para , o conjunto de todas as combinações convexas possíveis é o segmento de reta entre os dois pontos.[3]
Um subconjunto é dito convexo se, para cada par de pontos , também contém todos pontos do segmento de reta ligando tais pontos. Isto é, é um conjunto convexo se contém todas combinações convexas de todos seus pontos.[3]
Propriedades
[editar | editar código-fonte]Valem as seguintes propriedades:
- é convexo se, e somente se, toda combinação convexa de pontos pertencentes a pertence a .[4]
- Um conjunto não vazio que é a interseção de (talvez infinitas) um conjunto de conjuntos convexos é um conjunto convexo.
- Se é um conjunto convexo e é uma variável aleatória que pertence a como probabilidade . Então .
Operações que preservam convexidade
[editar | editar código-fonte]- Interseção: se são conjuntos convexos, então é convexo.[4]
- Imagem de um conjunto convexo sob uma função afim: se é convexo e é afim, então é convexa. Exemplos: se é convexo então (translação de ) e (multiplicação por um escalar) são convexos.
- Imagem inversa de um conjunto convexo sob alguma função afim: se é afim e é convexo então
- Projeção: a projeção de um conjunto convexo sobre alguma de suas coordenadas é um conjunto convexo: é convexo então é convexo.
- Soma de dois conjuntos
- Produto cartesiano de dois conjuntos
Ver também
[editar | editar código-fonte]Referências
- ↑ Morris, Carla C.; Stark, Robert M. (24 de agosto de 2015). Finite Mathematics: Models and Applications (em inglês). [S.l.]: John Wiley & Sons. ISBN 9781119015383
- ↑ Bachem, Achim; Kern, Walter (6 de dezembro de 2012). Linear Programming Duality: An Introduction to Oriented Matroids (em inglês). [S.l.]: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642581526
- ↑ a b c Robert J. Vanderbei. «10». Linear Programming: Foundations and Extensions 2 ed. Nova Jersey: Princeton University
- ↑ a b c d e f Guigues, Vincent. Notas de aula de Modelagem Matemática 3. FGV, 2018
- ↑ Lima 1981, p. 12, Teorema 2.
Bibliografia
[editar | editar código-fonte]- Lima, Elon Lages (1981). Curso de análise, Volume 2. Instituto de Matemática Pura e Aplicada. Rio de Janeiro: Instituto de Matemática Pura e Aplicada