Desigualdade de Boole
Teoria das probabilidades |
---|
![]() |
Em teoria da probabilidade, a desigualdade de Boole diz que, para qualquer conjunto de eventos finito ou contável, a probabilidade de que pelo menos um dos eventos aconteça não é maior que a soma das probabilidades dos eventos individuais. A desigualdade de Boole é nomeada em homenagem a George Boole.
Formalmente, para um conjunto contável de eventos de , temos
Em termos de teoria da medida, a desigualdade de Boole segue do fato de que uma medida (e, certamente, qualquer medida de probabilidade) é -sub-aditivo.
Prova
[editar | editar código-fonte]Prova usando indução
[editar | editar código-fonte]A desigualdade de Boole pode ser provada para conjuntos de eventos finitos, utilizando o método de indução.
Para o caso , segue-se que
- .
Para o caso , tem-se que
- .
Como , e porque a operação de união é associativa, tem-se que
- .
Como
- ,
pelo primeiro axioma de probabilidade, tem-se que
- ,
e, portanto,
- .
Prova sem o uso de indução
[editar | editar código-fonte]Para quaisquer eventos em um espaço de probabilidade, tem-se que
Um dos axiomas de um espaço de probabilidade é que, se são subconjuntos disjuntos do espaço de probabilidade, então
o que é chamado de aditividade contável.
Se então
De fato, a partir dos axiomas de uma distribuição de probabilidade,
Observando-se que ambos os termos à direita são não-negativos.
Então é preciso modificar os conjuntos de para que eles se torne disjuntos.
Se , então sabe-se que
Portanto, pode-se fazer a seguinte equação:
Desigualdades de Bonferroni
[editar | editar código-fonte]A desigualdade de Boole pode ser generalizada para encontrar limitantes superiores e inferiores sobre a probabilidade de uniões finitas de eventos.[1] Estes limites são conhecidos como desigualdades de Bonferroni, em homenagem à Carlo Emilio Bonferroni.
Definindo
e
bem como
para todos os números inteiros de em .
Então, para ímpares em ,
- ,
e para pares em ,
- .
A desigualdade de Boole é recuperada definindo . Quando , então a igualdade se mantém e a identidade resultante é o princípio da inclusão–exclusão.
Veja também
[editar | editar código-fonte]Referências
- ↑ Casella, George; Berger, Roger L. (2002). Statistical Inference. [S.l.]: Duxbury. pp. 11–13. ISBN 0-534-24312-6
Bibliografia
[editar | editar código-fonte]- Bonferroni, Carlo E. (1936), «Teoria statistica delle classi e calcolo delle probabilità», Pubbl. d. R. Ist. Super. di Sci. Econom. e Commerciali di Firenze (em Italian), 8: 1–62, Zbl 0016.41103
- Dohmen, Klaus (2003), Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes. Inequalities and Identities of Inclusion–Exclusion Type, ISBN 3-540-20025-8, Lecture Notes in Mathematics, 1826, Berlin: Springer-Verlag, pp. viii+113, MR 2019293, Zbl 1026.05009
- Galambos, János; Simonelli, Italo (1996), Bonferroni-Type Inequalities with Applications, ISBN 0-387-94776-0, Probability and Its Applications, New York: Springer-Verlag, pp. x+269, MR 1402242, Zbl 0869.60014
- Galambos, János (1977), «Bonferroni inequalities», Annals of Probability, 5 (4): 577–581, JSTOR 2243081, MR 0448478, Zbl 0369.60018, doi:10.1214/aop/1176995765
- Galambos, János (2001), «Bonferroni inequalities», in: Hazewinkel, Michiel, Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer
Este artigo incorpora material de Bonferroni inequalities do PlanetMath, que é licenciado sob GFDL.