Espaço métrico
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Em matemática, um espaço métrico é um conjunto não-vazio onde as distâncias entre quaisquer de seus elementos é definida. Estas distâncias formam a métrica do conjunto. A partir daí, podemos definir propriedades topológicas como conjuntos abertos e fechados, que levam ao estudo de espaços topológicos mais abstratos.
O espaço métrico mais familiar é o espaço euclidiano. Na verdade, a métrica é uma generalização das quatro propriedades conhecidas da distância euclidiana. A métrica euclidiana define a distância entre dois pontos como o comprimento do segmento de reta que os conecta.
Existem outros espaços métricos, por exemplo, na geometria elíptica. Mesmo no espaço euclidiano, podemos adotar uma medida diferente de distância, como a métrica de Manhattan.
Definição
[editar | editar código-fonte]Seja um conjunto qualquer. Uma métrica definida sobre é uma função que satisfaz, para todo , as seguintes propriedades:
- ;
- Se , então,
- ;
- (essa propriedade é conhecida como desigualdade triangular).
Então o par é chamado espaço métrico.
Ignorando o rigor matemático, para qualquer sistema de estradas e terrenos a distância entre duas localidades pode ser definida como o comprimento da rota mais curta que liga esses locais. Para ser uma métrica, não deve haver estradas de mão única. A desigualdade do triângulo expressa o fato de que os desvios não são atalhos. Muitos dos exemplos abaixo podem ser vistos como versões concretas desta ideia geral.
Exemplos de Espaços Métricos
[editar | editar código-fonte]- O conjunto dos números reais é o exemplo mais importante de espaço métrico com respeito à métrica
- , onde , é o espaço de dimensão com a distância usual (espaço vetorial euclidiano).
- , onde observe que com esse exemplo, olhar para um mesmo conjunto com métricas diferentes. Isso provoca uma mudança na topologia do conjunto.
- , onde é denominado de espaço métrico discreto.
- Qualquer subconjunto de um espaço métrico é um espaço métrico, basta considerar a restrição .
- Seja V o conjunto das funções contínuas de domínio [a,b] e contra-domínio real. Então torna V um espaço métrico (a condição de continuidade é importante para garantir que essa métrica seja definida).
Propriedades
[editar | editar código-fonte]Um espaço métrico é topologizável, isto é admite uma estrutura natural de espaço topológico. Usando a notação para representar a bola aberta de raio r, , podem-se escrever várias formas equivalentes de definir esta topologia:
- Um conjunto A é aberto quando .
- A topologia gerada pelas bolas abertas.
Note-se, em particular, que as bolas abertas são conjuntos abertos, e essa topologia é Hausdorff.
Referências
[editar | editar código-fonte]- Lima, Elon Lages (2013). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed. [S.l.]: IMPA. 299 páginas. ISBN 978-85-244-0158-9