Modo normal
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Um modo normal de um sistema oscilatório é a frequência na qual a estrutura deformável oscilará ao ser perturbada. Os modos normais são também chamados frequências naturais ou frequências ressonantes. Para cada estrutura existe um conjunto destas frequências que é único.
É usual utilizar um sistema formado por uma massa e uma mola para ilustrar o comportamento de uma estrutura deformável. Quando este tipo de sistema é excitado numa das suas frequências naturais, todas as massas movem-se com a mesma frequência. As fases das massas são exactamente as mesmas ou exactamente as contrárias. O significado prático pode ser ilustrado mediante um modelo de massa e mola de um edifício. Se um terremoto excita o sistema com uma frequência próxima a una das frequências naturais o deslocamento de um piso (nível) em relação a outro será máximo. Obviamente, os edifícios só podem suportar deslocamentos de até uma certa magnitude. Ser capaz de representar um edifício e encontrar os seus modos normais é uma forma fácil de verificar se o desenho do edifício é seguro. O conceito de modos normais também é aplicável em teoria ondulatória, óptica e mecânica quântica.
Exemplo - modos normais de osciladores acoplados
[editar | editar código-fonte]Sejam dois corpos (não afectados pela gravidade), cada um deles de massa M, vinculados a três molas com constante característica K. Os mesmos encontram-se vinculados da seguinte maneira:
onde os pontos em ambos os extremos estejam fixos e não se possam deslocar. Utiliza-se a variável x1(t) para identificar o deslocamento da massa da esquerda, e x2(t) para identificar o deslocamento da massa da direita.
Se tomar-se a derivada segunda de x(t) com respeito ao tempo como x″, as equações de movimentos são:
Prova-se uma solução do tipo:
Substituindo estas nas equação de movimento, obtém-se:
dado que o factor exponencial é comum a todos os termos, pode-se omitir e simplificar a expressão:
O que em notação matricial é:
Para que esta equação não tenha uma solução não trivial, a matriz da esquerda deve ser singular, ou seja, o determinante da matriz deve ser igual a zero, portanto:
Resolvendo para , existem duas soluções:
- \,
- \,
Se substitui-se na matriz e se resolve para (), obtem-se (1, 1). Se se substitui , obtem-se (1, -1). (Estes vectores são autovectores, e as frequências denominam-se autovalores.)
O primeiro modo normal é:
e o segundo modo normal é:
A solução geral é uma sobreposição dos modos normais onde c1, c2, φ1, e φ2, são determinados pelas condições iniciais do problema.
O processo demonstrado aqui pode ser generalizado utilizando o formalismo da mecânica lagrangiana ou mecânica hamiltoniana.
Ondas estacionárias
[editar | editar código-fonte]Uma onda estacionária é uma forma contínua de modo normal. Numa onda estacionária, todos os elementos do espaço (ou seja as coordenadas (x,y,z)) oscilam com a mesma frequência e em fase (alcançando o ponto de equilíbrio juntas), mas cada uma delas com uma amplitude diferente.
A forma general de uma onda estacionária é:
onde f(x, y, z) representam a dependência da amplitude com a posição e o seno e coseno são as oscilações no decurso do tempo.
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Em termos físicos, as ondas estacionárias são produzidas pela interferência (sobreposição) de ondas e suas reflexões (apesar de que também é possível dizer justamente o oposto; que uma onda viajante é uma sobreposição de ondas estacionárias). A forma geométrica do meio determina qual será o padrão de interferência, ou seja determina a forma f(x, y, z) da onda estacionária. Esta dependência no espaço é chamada um modo normal.
Usualmente, em problemas com dependência contínua de (x,y,z) não existe um número determinado de modos normais, em mudança existe um número infinito de modos normais. Se o problema está delimitado (ou seja está definido numa porção restringida do espaço) existe um número discreto infinito de modos normais (usualmente numerados n = 1,2,3,...). Se o problema não está delimitado, existe um espectro contínuo de modos normais.
As frequências permitidas dependem dos modos normais como também das constantes físicas do problema (densidade, tensão, pressão, etc.) o que determina a velocidade de fase da onda. A classe de todas as frequências normais é no geral chamado o espectro de frequências. De modo geral, cada frequência está modulada pela amplitude na qual foi gerado, dando lugar a um gráfico do espectro de potência das oscilações.
No âmbito da música, os modos normais de vibração dos instrumentos (cordas, sopro, percussão, etc.) são chamados "harmónicos".
Modos normais em mecânica quântica
[editar | editar código-fonte]Em mecânica quântica, o estado de um sistema descreve-se pela sua função de onda , a qual é uma solução da equação de Schrödinger. O quadrado do valor absoluto de , ou seja:
é a densidade de probabilidade de medir a partícula na posição x no tempo t.
Usualmente, quando se relaciona com algum tipo de potencial, a função de onda descompõe-se na sobreposição de autovectores de energia definida, cada um oscilando com uma frequência . Portanto, pode-se expressar:
Os autovectores possuem um significado físico mais além da base ortonormal. Quando se mede a energia do sistema, a função de onda colapsa num de seus autovectores e portanto a função de onda da partícula descreve-se pelo autovector puro correspondente à energea medida.
Ver também
[editar | editar código-fonte]- tipos específicos:
- Aplicações físicas:
- Ferramentas matemáticas:
Ligações externas
[editar | editar código-fonte]- «Java simulation of coupled oscillators»
- Java simulation of the normal modes of a string, drum, and bar.