Здравствуйте!
Сегодня мы с вами попробуем разобраться,
что такое экспоненциальный рост.
Экспоненциальный рост —
возрастание величины в геометрической прогрессии.
Величина растет со скоростью, пропорциональной её значению.
Это означает, что для любой экспоненциально растущей величины
чем большее значение она принимает, тем быстрее растет.
Разберем это на примере. Может, вы помните из биологии,
что бактерии размножаются ОЧЕНЬ быстро. Рост популяции бактерий
аналогичен росту непрерывно начисляемых процентов.
Я это покажу, когда будем решать задачу. Так, это у нас задача
на экспоненциальный рост. Вот условие: на начальной стадии
бактериальная колония содержит в себе 100 клеток, и она начинает
расти пропорционально своему размеру. Спустя 1 час
численность клеток возрастает до 420. Сначала нам нужно найти выражение,
которое показывает количество бактерий через t часов.
Давайте этим и займемся. Количество бактерий – это,
можно сказать, функция от времени. Давайте обозначим ее b. Итак, запишем.
Количество бактерий как функцию от t можно записать как b(t).
Я запишу это вот здесь: b(t). Таким образом, количество бактерий
как функция от времени равно: начальное количество бактерий,
то есть I нулевое (если проводить аналогию с процентами, то это у нас тело кредита).
В данном случае это количество, с которого мы начинаем.
Далее у нас идет число е в степени kt, где k – это вид экспоненциального роста.
Это у нас I нулевое, другими словами, первоначальное количество.
t=0, т.к. в начальный момент времени время равно нулю,
а значит, что вся степень равна нулю, а все выражение здесь равно единице.
Логично, да?. b(0) должно быть равно I нулевому. Следовательно,
если вы знаете, с какого значения начать, а также второе значение,
то вы можете найти k. Затем вы подставляете вместо k найденное значение –
и вот вы и выполнили первый пункт задания: найти выражение,
которое показывает количество бактерий через t часов.
Итак, мой вопрос: чему равно I нулевое? Нам это количество известно.
Вот здесь в задаче: на начальной стадии бактериальная колония
содержит в себе 100 клеток. Следовательно, мы знаем,
что b(0) равно 100. Давайте я по-другому запишу:
b(0)=I нулевое*е в степени 0 =I нулевому. Следовательно, количество бактерий при
t=0 равно 100. Вот мы немного продвинулись в решении.
Теперь можем сказать, что b(t)=100*е в степени kt.
Таким образом, если бы у нас было k, то мы бы могли
выполнить первую часть задания: найти выражение,
которое показывает количество бактерий через t часов.
А как же нам найти k? А вот у нас далее идет
второе значение количества бактерий:
спустя 1 час численность клеток возрастает до 420 штук.
О чем это нам говорит? О том, что b(1) т.е. популяция
спустя 1 час равна 420 штукам, или это равно 100*е в степени kt.
Чему равно t? t=1, следовательно, умножить на е в степени k.
Таким образом, 420=100*е в степени k.
Теперь мы можем найти k. Давайте для начала разделим
обе части равенства на 100.
Итак, 4,2…Я, наверное, поменяю местами части равенства.
Итак, е в степени k равно 4,2. Теперь, чтобы найти k,
нам нужно взять натуральные логарифмы обеих частей. Таким образом,
k=ln(4,2). В результате мы получим какое-то число.
Мы позже найдем его с помощью калькулятора.
Итак, мы сначала подставили в это выражение значение 100,
выяснили, чему равно I нулевое и с помощью дополнительных данных мы нашли k:
k=ln(4,2).
Теперь у нас есть выражение, поскольку k и I нулевое нам известны.
Следовательно, вот ответ на первый пункт задания:
функция b(t) равна: начальное количество, то есть 100,
умножить на е в степени kt, а поскольку
k=ln(4,2), то получаем е в степени
(ln(4,2))*t. Именно так выглядит наша функция.
Теперь приступим к выполнению второго пункта нашего задания.
Вот он, второй пункт: найти количество бактерий через 3 часа.
Это сделать легко и просто. У нас есть функция, а
t=3, следовательно, мы можем найти количество бактерий через 3 часа.
Итак, b(3)=100*е в степени
(ln(4,2)*3). И мы можем вычислить значение этого выражения,
если, конечно, у вас есть калькулятор. Чему равен натуральный логарифм 4,2?
Вообще-то, мы можем найти значение аналитическим методом.
Итак, это то же самое, что и 100 умножить на е в степени
ln(4,2) и все это в третьей степени, поскольку
если две степени перемножаются, то это равносильно возведению в степень,
значит, мы возводим в 3-ью степень. И если мы упростим здесь,
то дальше все понятно. А чему же равно е в степени
ln(4,2)? Это равно 4,2, не так ли? Натуральный логарифм говорит нам о том,
в какую степень надо возвести число е, чтобы получить
4,2. Посмотрите, я даже обойдусь без калькулятора. Значит,
100*(4,2) в третьей степени. А теперь нам нужно выяснить, сколько будет
(4,2) в третьей степени. Это будет около 70-ти. Давайте позже с этим разберемся.
Вот ответ на второй пункт нашего задания.
А найти значение можно с помощью калькулятора.
Вы и сами можете это сделать.
Какой же третий пункт? Теперь нам надо найти темп роста спустя 3 часа.
Что в этом пункте от нас хотят?
Нам надо найти угол наклона вот этой функции.
Другими словами, нам надо найти производную этой функции при t=3.
Давайте я здесь все удалю, поскольку мы уже выполнили эти пункты задания.
Здесь надо только посчитать на калькуляторе. Готово.
Итак, переходим к третьему пункту.
Нам надо найти темп роста, то есть производную данной функции.
Итак, производная функции b’(t) равна…Чему же она равна?
Давайте воспользуемся цепным правилом,
т.е. принципом дифференцирования сложной функции.
Итак, поскольку 100 – это константа, то мы можем 100 написать перед функцией.
А производная вот этого выражения равна
ln(4,2) умножить на производную е в степени
ln(4,2)*t. Это мы нашли темп роста при t, а нам надо выяснить,
чему он будет равен при t=3. Следовательно,
b’(3)=100*ln(4,2), и все это мы умножаем на е в степени
ln(4,2)*t. А мы уже говорили, что это выражение равно просто
(4,2) в степени t. Значит, здесь мы умножаем на
(4,2) в третьей степени. Как видите, мы здесь затронули и тему логарифмов.
Ну, а дальше все легко и просто: мы вместо t подставили значение 3.
Надеюсь, вы поняли. Ну, а если нет, то можете просто-напросто
воспользоваться калькулятором. Но, по-моему, это надо знать:
е в втепени (ln x)=x. Ведь, что такое (ln x)? Это степень, в которую надо возвести е,
чтобы получить х. Другими словами, если я возвожу е в степень х,
я получаю х. Вот все, что я хотела сказать.
Итак, е в степени ((ln(4,2) в степени t)=
(4,2) в стпени t. Как видите, я могу переписать
наше первоначальное выражение следующим образом:
100*(4,2) в степени t. Мы только что упростили ответ для первого пункта задания.
Так будет лучше. Благодаря этому найти решение для второго пункта
было бы проще. Ну а что касается третьего пункта,
то здесь лучше оставить все, как есть, поскольку
найти производную вот этого выражения намного легче.
Мы можем переписать вот это выражение как:
b’(t)=(100*ln(4,2))*(4,2) в степени t.
Таким образом, я просто поменяла вот это выражение на это.
Извините, я тут уже так начёркала.
И наконец-то, мы подошли к последнему пункту нашего задания:
найти время, через которое количество бактерий достигнет 10.000.
Давайте я, наверное, сотру решение к третьему пункту.
Через какое время количество бактерий достигнет 10.000?
Давайте сначала запишем наше выражение немного проще.
Итак, b(t)=100*е в степени (ln(4,2)*t).
А это равно, как я уже говорила, 100*(4,2)^t.
У нас спрашивают, когда количество бактерий достигнет
10.000. Другими словами, при каком значении t функция
b(t) равно 10.000. Итак,
10.000=100*е в степени ln(4,2)*t.
Давайте посмотрим, что у нас здесь.
Мы можем разделить обе части равенства на 100. Следовательно,
100=е в степени (ln(4,2)*t).
А теперь мы можем записать обе части в виде натуральных логарифмов.
Что у нас здесь получится? Возьму другой цвет, ln100 равен...,
а если мы берем натуральный логарифм е в какой-то степени,
то мы получаем просто натуральный логарифм значения этой степени.
Другими словами, у нас остается только логарифм выражения,
которое находится в степени. Итак, давайте это запишем:
ln100=ln(4,2)*t. А чтобы найти t,
нам надо обе части равенства разделить на
ln(4,2). Следовательно, t=(ln100)/(ln(4,2))
Таким вот образом мы найдем время,
через которое количество бактерий достигнет
10.000. Осталось только взять калькулятор
и найти значение этого выражения.
А давайте теперь ради интереса,
рассмотрим упрощенную версию нашего выражения.
Итак, что бы у нас получилось:
100*(4,2) в степени t=10.000. Делим обе части равенства на 100.
Значит, (4,2) в степени t=100. А чтобы решить это,
нам надо взять логарифм по основанию 4,2. Следовательно,
t равно логарифму 100 по основанию 4,2.
Мы еще вернемся к этому в видео о свойствах логарифма.
Очень важно знать, как можно
вычислить логарифм по основанию какого-то числа.
Поскольку на калькуляторе вы можете
найти логарифм только по основанию е или 10.
А как найти логарифм по основанию любого другого числа?
Мой ответ – очень просто:
надо просто взять натуральный логарифм 100 и разделить его
на натуральный логарифм вот этого значения.
Либо же десятичный логарифм 100 и разделить на десятичный логарифм 4,2.
Все, на этом мы, наверное, закончим,
чтобы у вас в голове все не перепуталось.
Итак, на этом уроке мы рассмотрели экспоненциальный рост.
Мы могли вместо «колонии бактерий» написать
«начальная сумма вклада составляет 100
и растет пропорционально своему размеру».
Тогда это было бы сложными процентами.
А здесь мы могли бы сказать, что
«спустя 1 час сумма увеличилась на, допустим, 4, 2 доллара.
В таком случае мы бы искали непрерывно начисляемые проценты.
В общем, это то же самое. Неважно, что именно мы рассматриваем.
В дальнейшем я покажу еще несколько примеров на эту тему,
а также мы рассмотрим задачу и на экспоненциальное затухание.
До скорой встречи!