Парадокс дней рождения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Парадо́кс дней рожде́ния — утверждение, состоящее в том, что в группе, состоящей из 23 или более человек, вероятность совпадения дней рождения (число и месяц) хотя бы у двух людей превышает 50 %. Например, если в классе 23 ученика или более, то более вероятно то, что у какой-то пары одноклассников дни рождения придутся на один день, чем то, что у каждого будет свой неповторимый день рождения[1]. Впервые эта задача была рассмотрена Рихардом Мизесом в 1939 году[2][3].

Для 57 и более человек вероятность такого совпадения превышает 99 %, хотя 100 % она достигает, согласно принципу Дирихле, только тогда, когда в группе не менее 367 человек (ровно на 1 больше, чем число дней в високосном году; с учётом високосных лет).

Такое утверждение может показаться неочевидным, так как вероятность совпадения дней рождения двух человек с любым днём в году , умноженная на число человек в группе (23), даёт лишь . Это рассуждение неверно, так как число возможных пар значительно превышает число человек в группе (253 > 23). Таким образом, утверждение не является парадоксом в строгом научном смысле: логического противоречия в нём нет, а парадокс заключается лишь в различиях между интуитивным восприятием ситуации человеком и результатами математического расчёта.

График зависимости вероятности совпадения дней рождения хотя бы у двух человек от количества людей

Интуитивное восприятие

[править | править код]

В группе из 23 человек вероятность совпадения дней рождения у двух человек столь высока, потому что рассматривается вероятность совпадения дней рождения у любых двух человек в группе. Эта вероятность определяется количеством пар людей, которые можно составить из 23 человек. Так как порядок людей в парах не имеет значения, общее число таких пар равно числу сочетаний из 23 по 2, то есть (23 × 22) / 2 = 253 пары.

В формулировке парадокса речь идёт именно о совпадении дней рождения у каких-либо двух членов группы. Одно из распространённых заблуждений состоит в том, что этот случай путают с другим случаем, на первый взгляд похожим, когда из группы выбирается один человек и оценивается вероятность того, что день рождения каких-либо других членов группы совпадёт с днём рождения выбранного человека. В последнем случае вероятность совпадения значительно ниже.

Расчёт вероятности

[править | править код]

Требуется определить вероятность того, что в группе из n человек как минимум у двух из них дни рождения совпадут.

Пусть дни рождения распределены равномерно, то есть примем, что:

В действительности это не совсем так — в частности, в некоторых странах из-за особенностей работы больниц больше детей рождается в определённые дни недели. Однако неравномерность распределения может лишь увеличить вероятность совпадения дней рождения, но не уменьшить: если бы все люди рождались только в 3 дня из 365, то вероятность совпадения дней рождения была бы очень высокой.

Рассчитаем сначала  — вероятность того, что в группе из человек дни рождения всех людей будут различными. Если , то в силу принципа Дирихле вероятность равна нулю. Если же , то будем рассуждать следующим образом. Возьмём наугад одного человека из группы и запомним его день рождения. Затем возьмём наугад второго человека, при этом вероятность того, что у него день рождения не совпадёт с днем рождения первого человека, равна . Затем возьмём третьего человека; при этом вероятность того, что его день рождения не совпадёт с днём рождения одного из первых двух, равна . Рассуждая по аналогии, мы дойдём до последнего человека, для которого вероятность несовпадения его дня рождения со всеми предыдущими будет равна . Перемножая все эти вероятности, получаем вероятность того, что все дни рождения в группе будут различными:

Тогда вероятность того, что хотя бы у двух человек из n дни рождения совпадут, равна

Значение этой функции превосходит 1/2 при , при этом вероятность совпадения равна примерно 50,73 %, а . Список значений n и соответствующих им вероятностей приведён в следующей таблице.

n p(n)
10 12 %
20 41 %
30 70 %
50 97 %
100 99,99996 %
200 99,9999999999999999999999999998 %
300 (1 − 7×10−73) × 100 %
350 (1 − 3×10−131) × 100 %
367 100 %

Данную задачу можно переформулировать в терминах классической «задачи о совпадениях». Пусть:

  • урна содержит  шаров (в данном случае  — количество дней в году, принятое равным 365 дням);
  • шары пронумерованных числами 1, 2, …, ;
  • производится несколько выборок по n шаров из урны (в данном случае n — количество человек в группе);
  • изъятые шары возвращаются в урну после каждой выборки;
  • выборки считаются упорядоченными, то есть выборки и считаются различными.

Требуется посчитать вероятность события, заключающегося в отсутствии повторений в выборке. Все расчёты аналогичны приведённым выше.

Альтернативный метод

[править | править код]

Вероятность совпадения дней рождения у двух человек, входящих в группу из n людей, можно также рассчитать с использованием формул комбинаторики[4]. Представим, что каждый день года — это одна буква в алфавите, и алфавит состоит из 365 букв. Дни рождения n человек могут быть представлены строкой, состоящей из n букв такого алфавита. По формуле Хартли, количество возможных строк равно

Количество возможных строк, в которых буквы не повторяются (размещение из 365 по n), составит

Если строки выбираются случайно (с равномерным распределением), вероятность выбора строки, в которой хотя бы две буквы совпадут, равна

при и
при .

Таким образом,

а это выражение эквивалентно представленному выше.

Также общее количество возможных строк можно рассчитать по формуле комбинаторики количества размещений с повторениями А(повт) n/365 = 365n.

Аппроксимации

[править | править код]

Экспоненциальная функция

[править | править код]

Используя разложение экспоненциальной функции в ряд Тейлора

приведённое выше выражение для можно аппроксимировать следующим образом:

Следовательно:

Графики функции p(n) и близкой к ней функции аппроксимации

Заметим, что и упрощённая аппроксимация

как видно по графику, всё ещё даёт достаточную точность.

Приведём ещё одну аппроксимацию.

Вероятность того, что у двух людей дни рождения не совпадают, равна 364/365. В группе из человек  пар. Поэтому вероятность при условии независимости этих событий может быть приближена числом

Следовательно, получаем приближение для искомой вероятности p(n):

Пуассоновское приближение

[править | править код]

Используя приближение Пуассона для бинома, исходя из предыдущего приближения для , получим чуть больше 50 %:

Расчёт количества человек, при котором вероятность составляет 50 %

[править | править код]

Из приведённой ранее формулы выразим n. Затем вместо p(n) подставим 50 % (0,5). В результате получим:

Существует ещё один способ оценки n при вероятности 50 %. Согласно доказанному выше:

Найдём наименьшее n, при котором

или, что то же самое,

Воспользуемся приведённой выше аппроксимацией функции  экспоненциальной функцией:

Подставив вместо в выражение , получим

Решая относительно n, получим

Отсюда найдём n и округлим до целого:

n = 23.

Родившиеся в один день с заданным человеком

[править | править код]

Сравним вероятность p(n) с вероятностью того, что в группе из n человек день рождения какого-либо человека из группы совпадёт с днём рождения некоторого заранее выбранного человека, не принадлежащего группе. Эта вероятность равна

Сравнение графиков функций p(n) и q(n).
Ось абсцисс: количество человек n.
Ось ординат: вероятность.
p(n) — вероятность того, что в группе из n человек как минимум у двух из них дни рождения совпадут.
q(n) — вероятностью того, что в группе из n человек день рождения какого‑либо человека из группы совпадёт с днём рождения некоторого заранее выбранного человека, не принадлежащего группе.

Подставляя n = 23, получаем q(n) ≈ 6,12 %. Для того, чтобы вероятность q(n) превысила 50 %, число людей в группе должно быть не менее 253 (q(252) ≈ 49,91 %; q(253) ≈ 50,05 %). Это число больше, чем половина дней в году (365/2 = 182,5); так происходит из-за того, что у остальных членов группы дни рождения могут совпадать между собой, и это уменьшает вероятность q(n). Если выразиться точнее, то это происходит из-за того, что при сложении вероятностей совпадений мы каждый раз вычитаем вероятность совместного появления этих событий, так как события являются совместными и вероятность их совместного появления при сложении учтена дважды. P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) и т. д с каждым добавлением нового слагаемого.

Совпадение дискретных случайных величин

[править | править код]

Описанная задача может быть сформулирована в общем виде:

  • даны случайные числа;
  • случайные числа распределены равномерно в диапазоне от 1 до d;
  • n — количество случайных чисел;
  • определить p( n ; d ) — вероятность того, что совпадут хотя бы два числа из заданных.

Если рассуждать таким же образом, как описано выше, можно получить общие решения:

Обратная задача:

  • дана p — вероятность того, что совпадают хотя бы два случайных числа;
  • известно, что случайные числа распределены равномерно в диапазоне от 1 до d;
  • найти n(p;d) — количество случайных чисел.

Решение:

Несколько типов людей

[править | править код]
Вероятность совпадения дня рождения хотя бы у одного мужчины и у одной женщины

Выше парадокс дней рождения был представлен для одного «типа» людей. Можно обобщить задачу, введя несколько «типов», например, разделив людей на мужчин (m) и женщин (n). Подсчитаем вероятность того, что хотя бы у одной женщины и у одного мужчины совпадают дни рождения (совпадение дней рождения у двух женщин или у двух мужчин не учитываются):

где d = 365 и S2() — числа Стирлинга второго рода. Интересно, что нет однозначного ответа на вопрос о величине n+m для заданной вероятности. Например, вероятность 0,5 даёт как набор из 16 мужчин и 16 женщин, так и набор из 43 мужчин и 6 женщин.

Близкие дни рождения

[править | править код]

Другое обобщение парадокса дней рождения состоит в постановке задачи о том, сколько требуется человек для того, чтобы вероятность наличия в группе людей, дни рождения которых различаются не более чем на один день (или на два, три дня и так далее), превысила 50 %. При решении этой задачи используется принцип включения-исключения. Результат (опять-таки в предположении, что дни рождения распределены равномерно) получается следующим:

Максимальное различие дней рождения, количество дней Необходимое количество людей
1 23
2 14
3 11
4 9
5 8
6 8
7 7
8 7

Таким образом, вероятность того, что даже в группе из 7 человек дни рождения хотя бы у двух из них будут различаться не более чем на неделю, превышает 50 %.

Применение

[править | править код]

Парадокс дней рождения в общем виде применим к хеш-функциям: если хеш-функция генерирует N‑битное значение, то число случайных входных данных, для которых хеш-коды с большой вероятностью дадут коллизию (то есть найдутся равные хеш-коды, полученные на разных входных данных), равно не 2N, а только около 2N/2. Это наблюдение используется в атаке на криптографические хеш‑функции, получившей название «атака „дней рождения“».

N Количество различных выходных цепочек (2N) Вероятность хотя бы одной коллизии (p)
10−18 10−15 10−12 10−9 10−6 0,1 % 1 % 25 % 50 % 75 %
32 4,3 × 109 2 2 2 2,9 93 2,9 × 10³ 9,3 × 10³ 5,0 × 10⁴ 7,7 × 10⁴ 1,1 × 10⁵
64 1,8 × 1019 6,1 1,9 × 10² 6,1 × 10³ 1,9 × 10⁵ 6,1 × 10⁶ 1,9 × 10⁸ 6,1 × 10⁸ 3,3 × 10⁹ 5,1 × 10⁹ 7,2 × 10⁹
128 3,4 × 1038 2,6 × 1010 8,2 × 1011 2,6 × 1013 8,2 × 1014 2,6 × 1016 8,3 × 1017 2,6 × 1018 1,4 × 1019 2,2 × 1019 3,1 × 1019
256 1,2 × 1077 4,8 × 1029 1,5 × 1031 4,8 × 1032 1,5 × 1034 4,8 × 1035 1,5 × 1037 4,8 × 1037 2,6 × 1038 4,0 × 1038 5,7 × 1038
384 3,9 × 10115 8,9 × 1048 2,8 × 1050 8,9 × 1051 2,8 × 1053 8,9 × 1054 2,8 × 1056 8,9 × 1056 4,8 × 1057 7,4 × 1057 1,0 × 1058
512 1,3 × 10154 1,6 × 1068 5,2 × 1069 1,6 × 1071 5,2 × 1072 1,6 × 1074 5,2 × 1075 1,6 × 1076 8,8 × 1076 1,4 × 1077 1,9 × 1077

В белых ячейках указано количество человек в группе, при котором коллизия произойдёт с заданной вероятностью (по аналогии с парадоксом количество выходных цепочек равно 365).

Сходный математический аппарат используется для оценки размера популяции рыб, обитающих в озёрах. Метод называется «capture-recapture» («поймать — поймать снова»). Действительно, если каждую пойманную рыбу помечать и отпускать, то вероятность поймать помеченную рыбу будет расти нелинейно (в соответствии с приведённым выше графиком) с ростом количества попыток. Размер популяции грубо может быть оценён как квадрат числа попыток, совершаемых до вылавливания первой помеченной рыбы.

Решение задачи в общем виде находит применение во многих разделах математики, например, в недетерминированных алгоритмах факторизации. Так, одно из самых простых объяснений ρ-метода Полларда аналогично объяснению парадокса дней рождения: достаточно иметь примерно случайных чисел от 0 до , где  — простые, чтобы хотя бы для одной из пар чисел с высокой вероятностью нашёлся , который и будет делителем числа n.

Обратные задачи

[править | править код]
  1. Поиск наименьшего числа n, при котором вероятность p(n) больше заданного числа p.
  1. Поиск наибольшего числа n, при котором вероятность p(n) меньше заданного числа p.

Пользуясь формулой, приведённой выше, получаем:

p n n p(n↓) n p(n↑)
0,01 0,14178√365 = 2,70864 2 0,00274 3 0,00820
0,05 0,32029√365 = 6,11916 6 0,04046 7 0,05624
0,1 0,45904√365 = 8,77002 8 0,07434 9 0,09462
0,2 0,66805√365 = 12,76302 12 0,16702 13 0,19441
0,3 0,84460√365 = 16,13607 16 0,28360 17 0,31501
0,5 1,17741√365 = 22,49439 22 0,47570 23 0,50730
0,7 1,55176√365 = 29,64625 29 0,68097 30 0,70632
0,8 1,79412√365 = 34,27666 34 0,79532 35 0,81438
0,9 2,14597√365 = 40,99862 40 0,89123 41 0,90315
0,95 2,44775√365 = 46,76414 46 0,94825 47 0,95477
0,99 3,03485√365 = 57,98081 57 0,99012 58 0,99166

Наилучшая позиция

[править | править код]

Пусть в комнате находятся n - 1 человек, и их дни рождения различны. Пусть g(n) — вероятность того, что день рождения вошедшего человека совпадает с днём рождения кого‑либо из присутствующих в комнате. Требуется найти значение n, при котором значение функции g(n) максимально.

Решение сводится к нахождению максимального значения выражения

p(n) - p(n-1).

Используя приведённую выше формулу для p(n), получим n = 20.

Среднее число людей

[править | править код]

Рассмотрим другую задачу. Сколько в среднем нужно людей для того, чтобы хотя бы у двух из них совпали дни рождения?

Эта проблема имела отношение к алгоритмам хеширования и была исследована Дональдом Кнутом. Оказывается, что интересующая нас случайная величина имеет математическое ожидание, равное

где

Функция

была исследована Рамануджаном. Он же получил для этой функции следующее асимптотическое разложение:

При M = 365 среднее число людей равно

Это число немного больше, чем число людей, обеспечивающих вероятность 50 %. Как ни удивительно, необходимое число людей равно M + 1 = 366 (у 365 людей дни рождения могут распределиться по каждому из 365 дней года без совпадений), хотя в среднем нужно лишь 25.

Примечания

[править | править код]
  1. Мазур, 2017, с. 116.
  2. Мазур, 2017, с. 119.
  3. Миронкин В. О., Чухно А. Б. Об одном обобщении парадокса «дней рождения». Дата обращения: 30 марта 2020. Архивировано 9 июля 2020 года.
  4. Мазур, 2017, с. 117.

Литература

[править | править код]
  • Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную математику = Introduction to Finite Mathematics. — Издательство иностранной литературы, 1963. — 488 с.
  • Козлов М. В. Элементы теории вероятностей в примерах и задачах. — Издательство Московского университета, 1990 год. — ISBN 5-211-00312-8.
  • Мазур, Джозеф. Задача о дне рождения // Игра случая. Математика и мифология совпадения. — Альпина нон-фикшн, 2017. — С. 116—123. — 292 с. — ISBN 978-5-91671-636-8.
  • Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. — РХД, 2003 год. — ISBN 5-93972-150-8.
  • Ширяев А. Н. Вероятность-1. — МЦНМО, 2007 год. — ISBN 978-5-94057-036-3.
  • Goldberg S. A Direct Attack on a Birthday Problem (англ.) // Mathematical Mathematics Magazine. — Май 1976 года. — Iss. 49. — P. 130—132.
  • Mosteller F. Understanding the Birthday Problem (англ.) // The Mathematics Teacher. — Май 1962 года. — P. 322—325.